Überdeckungslemma von Wiener

Das Überdeckungslemma v​on Wiener (englisch Wiener covering lemma) i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er im Übergangsfeld zwischen d​en Gebieten d​er Topologie, d​er Maßtheorie u​nd der Harmonischen Analyse angesiedelt ist. Dieses Lemma w​ird dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener zugeschrieben u​nd behandelt e​ine Fragestellung z​u offenen Überdeckungen v​on kompakten Teilmengen i​m euklidischen Raum u​nd in Räumen v​om homogenen Typ. Es i​st verwandt m​it einem ähnlichen Überdeckungslemma, welches a​uf den italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali zurückgeht. Beide Lemmata s​ind bedeutungsvoll für d​ie Herleitung v​on Sätzen z​ur Frage d​er punktweisen Konvergenz v​on Fourier-Reihen.[1][2][3][4]

Formulierung

Das Lemma lässt s​ich angeben w​ie folgt:[5][6]

Sei ${\displaystyle X}$ der n-dimensionale euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ oder – allgemeiner – ein Raum vom homogenen Typ, für den ${\displaystyle K}$ die in der Quasi-Dreiecksungleichung erscheinende Konstante sein soll.

In ${\displaystyle X}$ seien eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle Y\neq \emptyset }$ gegeben und zudem eine Familie ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(B(x_{j},r_{j}))_{j\in J}}$ von offenen ${\displaystyle X}$-Kugeln, welche ${\displaystyle Y}$ überdecken.

Dann gilt:

Es gibt in ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine aus endlich vielen paarweise disjunkten ${\displaystyle X}$-Kugeln bestehende Teilfamilie ${\displaystyle (B(x_{t},r_{t}))_{t\in T},\;T\subset J,\;|T|<\infty ,}$ derart, dass für ${\displaystyle M=2K^{2}+K}$ die ${\displaystyle M}$-fach vergrößerten ${\displaystyle X}$-Kugeln ${\displaystyle (B(x_{t},Mr_{t}))_{t\in T}}$ eine Überdeckung von ${\displaystyle Y}$ bilden.

Im Falle ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ kann dabei ${\displaystyle K=1}$ und damit ${\displaystyle M=3}$ gewählt werden.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein Raum vom homogenen Typ (englisch space of homogeneous type) ist eine mathematische Raumstruktur ${\displaystyle X=(X,d,\mu )}$ über einer nichtleeren Grundmenge ${\displaystyle X}$ derart, dass ${\displaystyle (X,d)}$ ein semimetrischer Raum und ${\displaystyle (X,\mu )}$ ein Maßraum ist, wobei die folgenden Zusatzbedingungen gelten:
  • Die Semimetrik ${\displaystyle d\colon {X\times X}\to [0,\infty ]}$, welche die topologische Struktur von ${\displaystyle (X,d)}$ erzeugt, hängt ab von einer Konstanten ${\displaystyle K\geq 1}$, so dass für ${\displaystyle x,y,z\in X}$ stets die Quasi-Dreiecksungleichung (englisch quasi-triangle inequality) ${\displaystyle d(x,y)\leq K(d(x,z)+d(z,y))}$ erfüllt ist.[7]
  • Der Maßraumstruktur von ${\displaystyle (X,\mu )}$ liegt eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ über der Grundmenge ${\displaystyle X}$ zugrunde, welche die borelsche σ-Algebra von ${\displaystyle X}$ sowie alle ${\displaystyle X}$-Kugeln ${\displaystyle B(x,r)=\{p\in X:d(x,p)<r\};\;(x\in X,\;r>0)}$ enthält.[8]
  • ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]}$ ist ein Maß auf ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,
    • welches einerseits für jede ${\displaystyle X}$-Kugel ${\displaystyle B(x,r)}$ die Ungleichungen ${\displaystyle 0<\mu {\bigl (}B(x,r){\bigr )}<\infty }$ erfüllt,
    • welches andererseits eine Konstante ${\displaystyle L>0}$ aufweist, so dass jede ${\displaystyle X}$-Kugel ${\displaystyle B(x,r)}$ die Verdopplungseigenschaft ${\displaystyle \mu {\bigl (}B(x,2r){\bigr )}<L\mu {\bigl (}B(x,r){\bigr )}}$ hat,[9]
    • und welches schließlich für die Punkte ${\displaystyle x\in X}$ stets der Bedingung ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ genügt.
• Im Falle ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ wird in der Regel als ${\displaystyle d}$ die übliche euklidische Metrik und als ${\displaystyle \mu }$ das Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ als gegeben vorausgesetzt.
• Die Grundkonzeption der Räume vom homogenen Typ beruht auf Ideen, welche Kennan T. Smith und Lars Hörmander entwickelt haben und die in der heutigen Form im Wesentlichen von Ronald Raphael Coifman und Guido Weiss ausgearbeitet wurden. Eine weiter verallgemeinerte Auffassung des Konzepts gab Steven G. Krantz in seiner Monographie Explorations in Harmonic Analysis.[10]
• Die Räume vom homogenen Typ sind nicht zu verwechseln mit den homogenen Räumen.

Das Überdeckungslemma von Vitali

Das Überdeckungslemma v​on Vitali (englisch Vitali covering lemma) lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[11][4]

Ist ${\displaystyle (I_{j})_{j\in J}}$ eine nichtleere Familie von reellen Intervallen, die allesamt dem Intervall ${\displaystyle \mathbb {T} =[0,2\pi )}$ angehören und die dabei eine Lebesgue-messbare Menge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {T} }$ überdecken, so lässt sich daraus eine endliche oder unendliche Folge ${\displaystyle (I_{j_{m}})_{m=1,2,3,\dotsc }}$ von paarweise disjunkten Intervallen auswählen, welche in Bezug auf das Lebesgue-Maß die Ungleichung

${\displaystyle \lambda ^{1}{\Bigl (}\bigcup _{m=1,2,3,\dotsc }{I_{j_{m}}}{\Bigr )}>{\frac {1}{4}}\lambda ^{1}(A)}$

erfüllt.

Literatur

• Ronald R. Coifman, Guido L. Weiss: Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes: étude de certaines intégrales singulières. Étude de certaines intégrales singulières (= Lecture Notes in Mathematics. Band 242). Springer Verlag, Berlin, New York 1971 (MR0499948).
• Ronald R. Coifman, Guido Weiss: Extensions of Hardy spaces and their use in analysis. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 83, 1977, S. 569–645 (MR0447954).
• Donggao Deng, Yongsheng Han: Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type. With a preface by Yves Meyer. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88744-7 (MR2039503).
• Henry Helson: Harmonic Analysis. Addison-Wesley, Reading, Mass (u. a.) 1983, ISBN 0-201-12752-0 (MR0729682).
• Lars Hörmander: L^p estimates for (pluri-) subharmonic functions. In: Mathematica Scandinavica. Band 20, 1967, S. 65–78 (MR0234002).
• Roberto A. Macías, Carlos Segovia: Lipschitz functions on spaces of homogeneous type. In: Advances in Mathematics. Band 33, 1979, S. 257–270 (MR0546295).
• Yitzhak Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis (= Cambridge Mathematical Library). 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-54359-2 (MR1710388).
• Steven G. Krantz: A Panorama of Harmonic Analysis (= Carus Mathematical Monographs. Band 27). The Mathematical Association of America, Washington, DC 1999, ISBN 0-88385-031-1 (MR1710388).
• Steven G. Krantz: Explorations in Harmonic Analysis (= Applied and Numerical Harmonic Analysis. Band 27). Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2009, ISBN 978-0-8176-4668-4 (MR2508404).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• K. T. Smith: A generalization of an inequality of Hardy and Littlewood. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 157–170 (MR0086889).
• Norbert Wiener: The Fourier Integral and Certain of its Applications. Dover Publications, Inc., New York 1959 (MR0100201 – An unaltered republication of the 1933 edition [University Press, Cambridge]).

Einzelnachweise

1. Steven G. Krantz: A Panorama of Harmonic Analysis. 1999, S. 71, 235 ff, 357
2. Donggao Deng, Yongsheng Han: Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type. 1999, S. 13
3. Yitzhak Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis. 2004, S. 96 ff
4. Henry Helson: Harmonic Analysis. 1983, S. 130
5. Krantz, op. cit., S. 71, 246
6. Deng/Han, op. cit., S. 13
7. Aufgrund dieser Ungleichung wird in der englischsprachigen Fachliteratur im hiesigen Kontext auch von einer quasi-metric gesprochen. Das Konzept der Quasimetrik wird allerdings in der deutschsprachigen Fachliteratur stellenweise – wie etwa in Horst Schuberts Topologie (4. Auflage, S. 114) – anders aufgefasst, nämlich so, dass zwar für zwei verschiedene Punkte sowohl der Abstand ${\displaystyle 0}$ als auch der Abstand ${\displaystyle \infty }$ zugelassen sind, dass jedoch ansonsten die Quasimetrik alle üblichen Eigenschaften einer Metrik besitzt und insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt.
8. Die ${\displaystyle X}$-Kugeln sind im Falle ${\displaystyle K>1}$ nicht notwendig offene Teilmengen von ${\displaystyle (X,d)}$.
9. In der englischsprachigen Fachliteratur bezeichnet man die Verdopplungseigenschaft (englisch doubling property) auch als Verdopplungsbedingung (englisch doubling condition).
10. Steven G. Krantz: Explorations in Harmonic Analysis. 2009, S. 192 ff
11. Katznelson, op. cit., S. 97