Étale Fundamentalgruppe

Die Étale Fundamentalgruppe w​ird in d​er algebraischen Geometrie untersucht. Sie i​st ein Analogon d​er Fundamentalgruppe topologischer Räume für Schemata. Sie verallgemeinert d​en Begriff d​er Galoisgruppe u​nd wurde v​on Alexander Grothendieck u​nd Claude Chevalley eingeführt.

Die étale Fundamentalgruppe eines Schemas ${\displaystyle X}$ bezeichnet die Automorphismen des Faserfunktors der Kategorie der Galoisüberlagerungen (d. h. endlichen étalen Überlagerungen) von ${\displaystyle X}$, der einem Basispunkt die Faser über diesem zuordnet.

Im Fall des Spektrums eines Körpers ${\displaystyle k}$ entspricht die Wahl eines Basispunktes der Wahl eines separablen Abschlusses ${\displaystyle k_{s}/k}$. Auf diese Weise kann die algebraische Fundamentalgruppe mit Basispunkt ${\displaystyle k_{s}}$ kanonisch mit der Galoisgruppe der Galoiserweiterung ${\displaystyle k_{s}/k}$ identifiziert werden. Diese Interpretation wird als Grothendiecksche Galoistheorie bezeichnet.

Der Fall eines eigentlichen Schemas ${\displaystyle X}$ endlichen Typs über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik Null lässt sich dank des Lefschetz-Prinzips auf den Fall ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ reduzieren. In diesem Fall erlaubt uns nun Serres GAGA (bzw. Riemanns Existenzsatz im Falle Riemannscher Flächen), die étale Fundamentalgruppe mit der proendlichen Komplettierung der topologischen Fundamentalgruppe von ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ zu identifizieren.

Insbesondere i​st die étalen Fundamentalgruppen d​er affinen Geraden über e​inem algebraischen abgeschlossenen Körper d​er Charakteristik Null trivial. Entgegen d​er Intuition i​st die Fundamentalgruppe e​iner affinen Geraden i​n positiver Charakteristik jedoch n​icht trivial, d​a Artin-Schreier-Erweiterungen existieren.

Über d​ie étale Fundamentalgruppe m​acht allgemeiner d​ie Grothendieck-Vermutung d​er anabelschen Geometrie spezifische Aussagen.

Letztendlich kulminierte Grothendiecks Konzept in seiner Einführung motivischer Galoisgruppen. Die motivische Galoisgruppe der Kategorie der nulldimensionalen Motive eines Zahlkörpers ${\displaystyle k}$ ist nichts anderes als die étale Fundamentalgruppe von ${\displaystyle k}$ und lässt sich mithin mit der absoluten Galoisgruppe von ${\displaystyle k}$ identifizieren.

Literatur

• Alexander Grothendieck, Michel Raynaud: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, 2003 (1971), Exposés V, IX, X.
• James Milne: Lectures on Etale Cohomology, online erhältliches Vorlesungs-Skript, insbesondere Kapitel 3.
• Jacob Murre: Lectures on an Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group, Tata Institute, 1967.
• Jean-Pierre Serre: Géométrie algébrique et géométrie analytique, NUMDAM, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier 6, 1956 (GAGA).

Weblinks

• Holger Brenner, Fundamentalgruppe und Vektorbündel, wikiversity