Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk
Der Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk (manchmal auch nur Zerlegungssatz von Borsuk genannt) ist ein mathematischer Lehrsatz über die Topologie des endlichdimensionalen euklidischen Raums. Er geht auf Paul Alexandroff und Karol Borsuk zurück und gibt eine Charakterisierung der den euklidischen Raum zerlegenden Kompakta unter Benutzung der Homotopietheorie. Der Satz steht in enger Verbindung mit dem Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer.[1][2]
Formulierung des Zerlegungssatzes
Der Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk lässt sich formulieren wie folgt:
- Sei eine kompakte Teilmenge des ().
- Dann ist dafür, dass den zerlegt, hinreichend und notwendig, dass eine wesentliche stetige Abbildung von in die -dimensionale Sphäre existiert.
Erläuterungen
Man sagt, dass eine Teilmenge des diesen zerlegt, wenn die Komplementmenge in der Unterraumtopologie unzusammenhängend ist, also aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.[3][4]
Weiter nennt man eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen und wesentlich, wenn sie zu keiner konstanten Abbildung homotop ist. Andernfalls nennt man unwesentlich oder nullhomotop.[5][6]
Anwendung: Der qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer
Die qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer besagt folgendes:[7]
- Wird eine kompakte Teilmenge durch eine injektive stetige Abbildung innerhalb abgebildet und zerlegt den , so zerlegt auch die Bildmenge den .
Den qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer erhält man aus dem Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die wesentlichen stetigen Abbildungen von und in die n-dimensionale Sphäre via und einander umkehrbar eindeutig entsprechen.
Literatur
- Paul Alexandroff: Dimensionstheorie. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 161–238 (MR1512756).
- Karol Borsuk: Über Schnitte der n-dimensionalen euklidischen Sphäre. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 239–248.
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
Anmerkungen und Einzelnachweise
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 201 ff. (MR0533264).
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 394 ff.
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 149 (MR0533264).
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 151.
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 79–80 (MR0533264).
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 380.
- Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 203 (MR0533264).