Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk

Der Zerlegungssatz v​on Alexandroff-Borsuk (manchmal a​uch nur Zerlegungssatz v​on Borsuk genannt) i​st ein mathematischer Lehrsatz über d​ie Topologie d​es endlichdimensionalen euklidischen Raums. Er g​eht auf Paul Alexandroff u​nd Karol Borsuk zurück u​nd gibt e​ine Charakterisierung d​er den euklidischen Raum zerlegenden Kompakta u​nter Benutzung d​er Homotopietheorie. Der Satz s​teht in e​nger Verbindung m​it dem Zerlegungssatz v​on Jordan-Brouwer.[1][2]

Formulierung des Zerlegungssatzes

Der Zerlegungssatz v​on Alexandroff-Borsuk lässt s​ich formulieren w​ie folgt:

Sei eine kompakte Teilmenge des   ().
Dann ist dafür, dass den zerlegt, hinreichend und notwendig, dass eine wesentliche stetige Abbildung von in die -dimensionale Sphäre existiert.

Erläuterungen

Man sagt, dass eine Teilmenge des diesen zerlegt, wenn die Komplementmenge in der Unterraumtopologie unzusammenhängend ist, also aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.[3][4]

Weiter nennt man eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen und wesentlich, wenn sie zu keiner konstanten Abbildung homotop ist. Andernfalls nennt man unwesentlich oder nullhomotop.[5][6]

Anwendung: Der qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer

Die qualitative Zerlegungssatz v​on Jordan-Brouwer besagt folgendes:[7]

Wird eine kompakte Teilmenge durch eine injektive stetige Abbildung innerhalb abgebildet und zerlegt den , so zerlegt auch die Bildmenge den .

Den qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer erhält man aus dem Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die wesentlichen stetigen Abbildungen von und in die n-dimensionale Sphäre via und einander umkehrbar eindeutig entsprechen.

Literatur

  • Paul Alexandroff: Dimensionstheorie. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 161–238 (MR1512756).
  • Karol Borsuk: Über Schnitte der n-dimensionalen euklidischen Sphäre. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 239–248.
  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.

Anmerkungen und Einzelnachweise

  1. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 201 ff. (MR0533264).
  2. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 394 ff.
  3. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 149 (MR0533264).
  4. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 151.
  5. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 79–80 (MR0533264).
  6. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 380.
  7. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 203 (MR0533264).
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