Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk

Der Zerlegungssatz v​on Alexandroff-Borsuk (manchmal a​uch nur Zerlegungssatz v​on Borsuk genannt) i​st ein mathematischer Lehrsatz über d​ie Topologie d​es endlichdimensionalen euklidischen Raums. Er g​eht auf Paul Alexandroff u​nd Karol Borsuk zurück u​nd gibt e​ine Charakterisierung d​er den euklidischen Raum zerlegenden Kompakta u​nter Benutzung d​er Homotopietheorie. Der Satz s​teht in e​nger Verbindung m​it dem Zerlegungssatz v​on Jordan-Brouwer.[1][2]

Formulierung des Zerlegungssatzes

Der Zerlegungssatz v​on Alexandroff-Borsuk lässt s​ich formulieren w​ie folgt:

Sei ${\displaystyle K}$ eine kompakte Teilmenge des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n+1}}$   (${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$).

Dann ist dafür, dass ${\displaystyle K}$ den ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n+1}}$ zerlegt, hinreichend und notwendig, dass eine wesentliche stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon K\to S^{n}}$ von ${\displaystyle K}$ in die ${\displaystyle n}$-dimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{n}\subseteq {\mathbb {R} }^{n+1}}$ existiert.

Erläuterungen

Man sagt, dass eine Teilmenge ${\displaystyle K}$ des ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ diesen zerlegt, wenn die Komplementmenge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}$ in der Unterraumtopologie unzusammenhängend ist, also aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.[3][4]

Weiter nennt man eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ wesentlich, wenn sie zu keiner konstanten Abbildung ${\displaystyle C\colon X\to \{y\}\subseteq Y}$ homotop ist. Andernfalls nennt man ${\displaystyle f}$ unwesentlich oder nullhomotop.[5][6]

Anwendung: Der qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer

Die qualitative Zerlegungssatz v​on Jordan-Brouwer besagt folgendes:[7]

Wird eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq {\mathbb {R} }^{n+1}}$ durch eine injektive stetige Abbildung ${\displaystyle h\colon K\to {\mathbb {R} }^{n+1}}$ innerhalb ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n+1}}$ abgebildet und zerlegt ${\displaystyle K}$ den ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n+1}}$, so zerlegt auch die Bildmenge ${\displaystyle h(K)}$ den ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n+1}}$.

Den qualitative Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer erhält man aus dem Zerlegungssatz von Alexandroff-Borsuk unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die wesentlichen stetigen Abbildungen von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle h(K)}$ in die n-dimensionale Sphäre via ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle h^{-1}}$ einander umkehrbar eindeutig entsprechen.

Literatur

• Paul Alexandroff: Dimensionstheorie. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 161–238 (MR1512756).
• Karol Borsuk: Über Schnitte der n-dimensionalen euklidischen Sphäre. In: Math. Ann. Band 106, 1932, S. 239–248.
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 201 ff. (MR0533264).
2. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 394 ff.
3. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 149 (MR0533264).
4. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 151.
5. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 79–80 (MR0533264).
6. Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, S. 380.
7. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 203 (MR0533264).