Gemeinlot

Das Gemeinlot i​st ein Begriff a​us der Mathematik insbesondere a​us der analytischen Geometrie. Der Begriff bezeichnet d​en Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden. Man spricht a​uch vom gemeinsamen Lot d​er beiden Geraten. Die Strecke, d​ie das Gemeinlot beschreibt, l​iegt auf d​er Minimaltransversalen d​er Geraden.

Definition

Das Gemeinlot i​st die Strecke, d​eren Endpunkte jeweils a​uf einer d​er beiden windschiefen Geraden liegen u​nd die senkrecht z​u beiden Geraden verläuft. Ihre Länge kennzeichnet d​en kürzesten Abstand dieser beiden Geraden.[1]

Berechnung

Das Gemeinlot lässt s​ich (im dreidimensionalen Fall) m​it Methoden d​er analytischen Geometrie folgendermaßen bestimmen:

Die Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ seien gegeben durch die Parametergleichungen

${\displaystyle g\colon {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}};\qquad h\colon {\vec {X}}={\vec {B}}+\mu {\vec {v}}}$.

Ist ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ein Normalenvektor der Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$, beispielsweise das Kreuzprodukt dieser Vektoren, so entspricht der Ansatz

${\displaystyle {\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}+\nu {\vec {n}}={\vec {B}}+\mu {\vec {v}}}$

einem linearen Gleichungssystem, das sich nach ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ auflösen lässt. Einsetzen dieser Parameterwerte in die Gleichungen der Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ergibt die Ortsvektoren der beiden Fußpunkte des Gemeinlotes und damit dessen Gleichung.

Einzelnachweise

1. Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Grundwissen Mathematikstudium. Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-8274-2308-5, S. 249.