Wegealgebra

In d​er Mathematik liefern Wegealgebren e​ine Möglichkeit, Darstellungen v​on Köchern a​ls Moduln aufzufassen u​nd somit Ergebnisse, d​ie für Moduln bekannt sind, a​uch auf Darstellungen v​on Köchern z​u übertragen. Damit f​olgt zum Beispiel, d​ass jede endlich-dimensionale Darstellung e​ines endlichen Köchers o​hne orientierte Kreise isomorph i​st zu e​iner direkten Summe v​on unzerlegbaren Darstellungen (durch einfache Anwendung d​es Satzes v​on Krull-Remak-Schmidt).

Ein Weg (oder Pfad) in einem Köcher (=gerichteten Graphen) ${\displaystyle Q}$ ist eine Folge ${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}$ von Pfeilen ${\displaystyle a_{i}}$, so dass die Spitze des ${\displaystyle (i+1)}$-ten Pfeils den Anfang des ${\displaystyle i}$-ten Pfeils bildet, wobei Wege von rechts nach links hintereinandergehängt werden.

Die Wegealgebra (oder Pfadalgebra) ${\displaystyle KQ}$ zu ${\displaystyle Q}$ ist eine Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$ und wie folgt definiert: Als Vektorraum ist sie der ${\displaystyle K}$-Vektorraum, der als Basis alle Wege in ${\displaystyle Q}$ hat, wobei die Multiplikation zweier Wege als Hintereinanderschaltung der Wege gegeben ist, falls man sie aneinanderhängen kann. Stimmt das Ende eines Weges ${\displaystyle \beta }$ nicht mit dem Anfang des Weges ${\displaystyle \alpha }$ überein, so setzt man das Produkt ${\displaystyle \alpha \beta }$ gleich Null. (Man beachte, dass auch das „Stehenbleiben“ an einem Punkt ${\displaystyle i}$ einen Weg definiert, den trivialen Weg zum Punkt ${\displaystyle i}$.)

So erhält man eine assoziative Algebra über dem Körper ${\displaystyle K}$. Die Algebra besitzt genau dann ein Einselement, wenn der Köcher ${\displaystyle Q}$ nur endlich viele Punkte hat, nämlich die Summe aller trivialen Wege zu allen Punkten. In diesem Fall kann man die ${\displaystyle KQ}$-Moduln auf natürliche Weise mit Darstellungen von Köchern identifizieren.

Hat der Köcher ${\displaystyle Q}$ nur endlich viele Punkte und Pfeile und gibt es keine orientierten Kreise in ihm, so ist ${\displaystyle KQ}$ eine endlich-dimensionale erbliche Algebra über ${\displaystyle K}$.

Literatur

• M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø: Representation theory of Artin algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. xiv+425 pp. ISBN 0-521-41134-3; ISBN 0-521-59923-7

Weblinks

• W. Crawley–Boevey, Lectures on Represantations of Quivers