Köcher (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet ein Köcher (englisch Quiver) einen gerichteten Graphen, d. h., ein Köcher ${\displaystyle Q}$ besteht aus einer Menge ${\displaystyle Q_{0}}$ von Punkten und einer Menge ${\displaystyle Q_{1}}$ von Pfeilen sowie zwei Abbildungen ${\displaystyle s,t:Q_{1}\rightarrow Q_{0}}$ , die jedem Pfeil seinen Startpunkt (s für source) und seinen Zielpunkt (t für target) zuordnen.

Die Bezeichnung e​ines gerichteten Graphen a​ls Köcher i​st nur i​n der Darstellungstheorie üblich.

Darstellung eines Köchers

In der Darstellungstheorie besteht eine Darstellung eines Köchers ${\displaystyle Q}$ aus einer Familie ${\displaystyle \left\{V(i):i\in Q_{0}\right\}}$ von Vektorräumen und einer Familie ${\displaystyle \left\{(V(a):V(i)\rightarrow V(j)):(a:i\rightarrow j)\in Q_{1}\right\}}$ von Vektorraumhomomorphismen. Die Vektorräume sollen dabei solche über einem fest gewählten Körper sein.

Ein Morphismus, ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$ zwischen zwei Darstellungen eines Köchers ${\displaystyle Q}$ ist eine Familie linearer Abbildungen ${\displaystyle \left\{f(i):V(i)\rightarrow V'(i):i\in Q_{0}\right\}}$ , so dass für jeden Pfeil ${\displaystyle a\in Q_{1}}$ von ${\displaystyle i}$ nach ${\displaystyle j}$ gilt: ${\displaystyle V'(a)f(i)=f(j)V(a)}$ .

Mit Hilfe dieser Definitionen bilden die Darstellungen eines Köchers eine Kategorie. In dieser ist ein Morphismus ${\displaystyle f=\left\{f(i):V(i)\rightarrow V'(i):i\in Q_{0}\right\}}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn ${\displaystyle f(i)}$ für jeden Punkt ${\displaystyle i}$ des Köchers invertierbar ist.

Beispiel

${\displaystyle V_{1}{\overset {f}{\longrightarrow }}V_{2}}$

Darstellung eines Köchers mit zwei Vektorräumen ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ und einem Vektorraumhomomorphismus ${\displaystyle f\colon V_{1}\to V_{2}}$ .

Eigenschaften

Mit ${\displaystyle \left|Q\right|}$ wird der dem Köcher ${\displaystyle Q}$ zugrunde liegende ungerichtete Graph bezeichnet (d. h. anschaulich einfach: man macht die Pfeile zu Kanten). Ein Köcher heißt zusammenhängend, wenn der zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenhängend ist.

Eine Darstellung e​ines Köchers heißt zerlegbar, w​enn sie entweder trivial i​st (d. h. n​ur aus Nullvektorräumen u​nd Nullmorphismen besteht) o​der wenn s​ie als direkte Summe zweier nicht-trivialer Unterdarstellungen geschrieben kann. Andernfalls heißt d​ie Darstellung unzerlegbar.

Ein Köcher i​st von endlichem Darstellungstyp, w​enn er b​is auf Isomorphie n​ur endlich v​iele unzerlegbare Darstellungen hat.

Satz von Gabriel

Ein zusammenhängender Köcher ${\displaystyle Q}$ ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn ${\displaystyle \left|Q\right|}$ ein Dynkin-Diagramm vom Typ ${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{6},E_{7}}$ oder ${\displaystyle E_{8}}$ ist (Pierre Gabriel 1972).

Auslander-Reiten-Theorie

Zu einer endlich-dimensionalen ${\displaystyle K}$ -Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$ kann ein sogenannter Auslander-Reiten-Köcher definiert werden, wobei die Punkte des Köchers die Isomorphieklassen unzerlegbarer Moduln der ${\displaystyle K}$ -Algebra und die Pfeile sogenannte irreduzible Abbildungen zwischen den Moduln sind. Die Auslander-Reiten-Theorie führt damit schließlich Methoden der Homologietheorie in die Darstellungstheorie von Köchern ein.

Literatur

• Maurice Auslander, Idun Reiten, Smalo: Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge University Press, 1995. ISBN 978-0521411349
• Ibrahim Assem et al.: Elements of representation theory of associative algebras. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-58423-X
• Harm Derksen, Jerzy Weyman: An Introduction to Quiver Representations, Vol. 184, American Mathematical Society, 2017, ISBN 978-1-4704-2556-2.