Erblicher Ring

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring ${\displaystyle R}$ in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Moduls projektiv ist.[1] Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Linksmoduls projektiv ist.[2] Entsprechend heißt ein Ring ${\displaystyle R}$ rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).

Beispiele

• Jeder Körper ${\displaystyle K}$ ist erblich, da alle ${\displaystyle K}$-Moduln (= ${\displaystyle K}$-Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
• Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
• Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Z} \end{pmatrix}}:={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\0&a_{2,2}\end{pmatrix}}\in \mathrm {Mat} (2,\mathbb {Q} )\mid a_{2,2}\in \mathbb {Z} {\Bigr \}}}$ ist links-erblich aber nicht rechts-erblich.[3]
• Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.

Einzelnachweise

1. Louis D. Tarmin: Lineare Algebra Moduln 2, Tschampel BuchMat 4.B (2008), ISBN 3-934-67151-9, Definition 1.134.1
2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.8.11
3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Aufgabe 2.8.5