Wechselwirkungsbild

Das Wechselwirkungsbild (auch bezeichnet a​ls Wechselwirkungsdarstellung bzw. n​ach Paul Dirac a​ls Dirac-Bild o​der Dirac-Darstellung) i​st in d​er Quantenmechanik e​in Modell für d​en Umgang m​it zeitabhängigen Problemen u​nter Berücksichtigung v​on Wechselwirkungen.

Es i​st dem Heisenberg- u​nd dem Schrödinger-Bild weitgehend äquivalent, d. h. a​lle physikalisch relevanten Größen (Skalarprodukte, Eigenwerte usw.) bleiben d​ie gleichen (siehe a​uch Mathematische Struktur d​er Quantenmechanik).

Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. interaction) oder „D“ (wie Dirac-Bild) versehen: ${\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }$ bzw. ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {D}}(t)\,.}$

Geschichte

Das Wechselwirkungsbild w​urde 1926 v​on Paul Dirac i​n die Quantenmechanik eingeführt.[1] In Zusammenhang m​it Quantenelektrodynamik w​urde das Wechselwirkungsbild a​uch von Tomonaga[2], Dirac[3] u​nd (in e​iner unveröffentlichten Arbeit a​ls Student a​m City College o​f New York) v​on Julian Schwinger (1934) eingeführt.[4] Die Behandlung d​er relativistischen Quantenfeldtheorie i​m Wechselwirkungsbild m​it Zweiter Quantisierung f​and danach Eingang i​n die Standardlehrbücher.

Annahmen

Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:

• Der Hamilton-Operator des Systems ist gegeben durch ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}}$, wobei
  • ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\operatorname {const} }$ der zeitunabhängige Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist
  • ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}}$ die durch die Wechselwirkung verursachte Störung beschreibt, die zeitabhängig sein kann.

Es kann nützlich sein, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators auch dann herbeizuführen, wenn keine Wechselwirkung vorliegt.

• Zustände sind zeitabhängig: ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi (t)\rangle }$, ihre Dynamik wird beschrieben durch die angepasste Schrödinger-Gleichung.
• Operatoren sind ebenfalls zeitabhängig: ${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}(t)}$, ihre Dynamik ist gegeben durch die angepasste Heisenbergsche Bewegungsgleichung.
• Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen Störungstheorie.

Beschreibung

Der Grundgedanke des Wechselwirkungsbildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ verursacht wird, in die zeitliche Abhängigkeit der Operatoren zu stecken, während die von ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}}$ verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht.

Dazu werden z​wei Zeitentwicklungsoperatoren definiert:

• der „normale“, mit dem – wie in Zeitentwicklungsoperator erklärt – ${\displaystyle {\hat {H}}}$ definiert wird:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime })dt^{\prime }\right)\right]}$

mit dem Zeitordnungsoperator ${\displaystyle {\hat {T}}}$

• der nur von ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ erzeugte Zeitentwicklungsoperator:

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})\right).}$

Der Erwartungswert a des Operators ${\displaystyle {\hat {A}}}$ muss in allen drei Bildern (Heisenberg-Bild: Index ${\displaystyle _{H}}$, Schrödinger-Bild: Index ${\displaystyle _{S}}$, Dirac) gleich sein:

${\displaystyle a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|{\hat {A}}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace {{\hat {U}}_{0}(t,t_{0}){\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})} _{1}\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,\underbrace {{\hat {U}}_{0}(t,t_{0}){\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})} _{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }$

${\displaystyle a=\langle \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})} _{{\hat {A}}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|{\hat {A}}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }$

Der zeitabhängige Operator ${\displaystyle {\hat {A}}_{\rm {D}}(t)}$ ist wie im Heisenberg-Bild gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{\rm {D}}(t)&={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\\&={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\rm {e}}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\end{aligned}}}$

Der zeitabhängige Zustand ${\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }$ kann nur indirekt – über die Reduktion des (im Schrödinger-Bild) vollständig die Dynamik beschreibenden Zustandes ${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$ um den von ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ verursachten Anteil seiner Zeitentwicklung – definiert werden:

${\displaystyle |\psi _{\rm {D}}(t)\rangle ={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle ={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$

Damit lässt sich der Operator ${\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)}$ definieren:

${\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{1{\rm {S}}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\,{\hat {H}}_{1{\rm {S}}}(t)\,{\rm {e}}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}$

Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ ist im Wechselwirkungsbild identisch mit dem im Schrödinger-Bild:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0{\rm {D}}}(t)={\hat {H}}_{0{\rm {S}}}}$

Die Dynamik d​er Zustände w​ird (ähnlich d​em Schrödinger-Bild) beschrieben d​urch die Gleichung:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\rm {D}}(t)\rangle ={\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)\,|\psi _{\rm {D}}(t)\rangle }$

Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem nicht zeitabhängigen Hamilton-Operator ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$, der das ungestörte System beschreibt:

${\displaystyle i\hbar {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{\rm {D}}}{{\rm {d}}t}}=\left[{\hat {A}}_{\rm {D}}(t),{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\rm {D}}}{\partial t}}}$

Mit ${\displaystyle {\hat {H}}_{1{\rm {S}}}={\hat {H}}_{1{\rm {D}}}=0}$ geht das Dirac-Bild in das Heisenberg-Bild über.

Zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ stimmen alle drei Bilder überein:

${\displaystyle {\hat {A}}_{\text{D}}(t_{0})={\hat {A}}_{\text{H}}(t_{0})={\hat {A}}_{\text{S}}(t_{0})}$

${\displaystyle |\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle }$

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von ${\displaystyle {\hat {U}}_{0}}$ und ${\displaystyle {\hat {U}}_{0}^{\dagger }}$ ermittelt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {e} ^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname {e} ^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{0}=-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {e} ^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname {e} ^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}\left({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\right)={\frac {i}{\hbar }}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {H}}_{0}={\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}\,{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\end{aligned}}}$

Bewegungsgleichung für d​ie Zustände:

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\right)} _{{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-{\hat {H}}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)} _{({\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1{\rm {S}}})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }\\&={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {H}}_{1{\text{S}}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {H}}_{1{\text{S}}}(t){\hat {U}}_{0}(t,t_{0})} _{{\hat {H}}_{1{\rm {D}}}(t)}\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } _{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }={\hat {H}}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle \end{aligned}}}$

Bewegungsgleichung für d​ie Operatoren:

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {{\text{d}}{\hat {A}}_{\text{D}}}{{\text{d}}t}}&=i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}\right)=\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,\right)} _{-{\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}^{\dagger }}{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}+{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\underbrace {\left(i\hbar {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,{\hat {U}}_{0}\right)} _{{\hat {U}}_{0}{\hat {H}}_{0}}+i\hbar \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}_{\text{S}}\right)\,{\hat {U}}_{0}} _{\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\\&=-{\hat {H}}_{0}\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}+\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }\,{\hat {A}}_{\text{S}}\,{\hat {U}}_{0}} _{{\hat {A}}_{\text{D}}}{\hat {H}}_{0}+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}=\left[{\hat {A}}_{\text{D}},{\hat {H}}_{0}\right]+i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{\text{D}}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

Literatur

• Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin
• Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin

Einzelnachweise

1. Dirac On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc. A 112, 1926, 661; er verwendete es auch in Dirac The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc. A 114, 1927, 243. Historische Angaben nach der Darstellung in Charles Enz Not time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli, Oxford University Press 2002, S. 176
2. Tomonaga On a relativistically invariant formulation of the quantum theory of wave fields, Progress of Theoretical Physics, 1, 1946, 27
3. Dirac, Wladimir Fock, Boris Podolsky On Quantum Electrodynamics, Phys. Z. Sowjetunion, 2, 1932, 468
4. Mehra, Milton Climbing the Mountain. The Scientific Biography of Julian Schwinger, Oxford University Press 2000, S. 14. Er verwendete sie später in seinen ersten veröffentlichten Arbeiten über Quantenfeldtheorie (angefangen mit Schwinger Quantum Electrodynamics I, Physical Review, 74, 1948, 1439)