Washburn-Gleichung

Die Washburn-Gleichung (nach Edward W. Washburn, d​er sie 1921 herleitete)[1] beschreibt i​n der Physik d​ie kapillare Strömung i​n porösen Materialien vereinfacht als:

${\displaystyle L={\sqrt {\frac {\gamma \cdot D\cdot t\cdot \cos \phi }{4\cdot \eta }}}}$

mit

• der Eindringtiefe ${\displaystyle L}$, in die eine Flüssigkeit
• der Viskosität ${\displaystyle \eta }$ und
• der Oberflächenspannung ${\displaystyle \gamma }$ eindringt
• innerhalb der Zeit ${\displaystyle t}$

in e​in vollständig benetzbares Material

• mit dem durchschnittlichen Porendurchmesser ${\displaystyle D}$ und
• dem Kontaktwinkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen Flüssigkeit und Material.

Popularität erlangte d​iese Gleichung i​n England d​urch den Physiker Len Fisher d​er Universität Bristol. Er demonstrierte d​ie Anwendung d​er Gleichung anhand e​ines Kekstauchexperiments, u​m die Wissenschaft d​er Physik d​urch die Beschreibung alltäglicher Probleme zugänglicher z​u machen.

Herleitung

Das Gesetz v​on Hagen-Poiseuille

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}={\frac {\pi \cdot r^{4}}{8\cdot \eta }}{\frac {\Delta p}{l}}}$

wird angewendet a​uf die Kapillarströmung e​iner Flüssigkeit i​n einem zylindrischen Rohr o​hne Einwirkung e​ines äußeren Gravitationsfeldes.

Nach Einsetzen d​es Ausdrucks

${\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}$

für ein differentielles Volumen, welches über die differentielle Länge ${\displaystyle dl}$ einer Flüssigkeit in einem Rohr definiert wird, erhält man folgende Gleichung:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum p}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3}).}$

Darin ist

• ${\displaystyle \sum p=p_{a}+p_{h}+p_{c}}$ die Summe aller wirkenden Drücke, darunter:
  • der atmosphärische Druck ${\displaystyle p_{a}}$
  • der hydrostatische Druck ${\displaystyle p_{h}}$ und
  • das Druckäquivalent ${\displaystyle p_{c}}$ aufgrund von Kapillarkräften,
• ${\displaystyle \epsilon }$ der Gleitreibungskoeffizient, welcher für benetzbare Materialien 0 wird,
• ${\displaystyle r}$ der Radius der Kapillare.

Die einzelnen Druckkomponenten können folgendermaßen ausgedrückt werden:

${\displaystyle p_{h}=\rho \cdot g\cdot h-\rho \cdot g\cdot l\sin \psi ,}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2\cdot \gamma }{r}}\cdot \cos \phi .}$

mit

• der Dichte ${\displaystyle \rho }$ der Flüssigkeit
• dem Ausrichtungswinkel ${\displaystyle \psi }$ des Rohres, bezogen auf eine horizontale Achse.

Das Einsetzen dieser Gleichungen für die einzelnen Drücke führt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung, die die Eindringtiefe ${\displaystyle l}$ der Flüssigkeit in das Rohr beschreibt:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[p_{a}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}.}$

Einzelnachweis

1. Edward W. Washburn: The Dynamics of Capillary Flow. In: Physical Review. Band 17, Nr. 3, 1921, S. 273–283, doi:10.1103/PhysRev.17.273.

Weblinks

• Herleitung, Entwicklung und Anwendung der Washburn-Gleichung