Waringscher Satz (Analysis)

Der Waringsche Satz i​st ein mathematischer Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Analysis, d​er dem Mathematiker Edward Waring zugerechnet wird. Der Satz i​st eng verwandt m​it dem Satz v​on Rolle.[1][A 1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich folgendermaßen angeben:[1]

Gegeben seien eine reelle Polynomfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ sowie drei reelle Zahlen ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Dabei soll gelten:

(I) ${\displaystyle a<b}$.

(II) ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind Nullstellen von ${\displaystyle f}$.

(III) Im offenen Intervall ${\displaystyle ]a,b[}$ liegt keine Nullstelle von ${\displaystyle f}$.

(IV) ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist die zugehörige Polynomfunktion mit ${\displaystyle g(x)=f'(x)+c\cdot f(x)\;(x\in \mathbb {R} )}$.[A 2]

Dann gilt:

${\displaystyle g}$ besitzt im offenen Intervall ${\displaystyle ]a,b[}$ eine ungerade Anzahl von Nullstellen und – insbesondere! – stets mindestens eine.

Literatur

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 482 (MR1089881).
• Franz Xaver Mayer: Eduard Warings Meditationes algebraicae. Inauguraldissertation (Universität Zürich). Überlingen (Bodensee) 1923 (WorldCat-Link).

Anmerkungen

1. Der Artikel im Lexikon bedeutender Mathematiker (S. 482) greift wesentlich auf die genannte Dissertation von Franz Xaver Mayer zurück.
2. Dabei steht – wie üblich – ${\displaystyle f'}$ für die zu ${\displaystyle f}$ gehörige Ableitungsfunktion, die ebenfalls eine reelle Polynomfunktion ist.

Einzelnachweise

1. Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 482