Wannier-Darstellung

Die n​ach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung i​st ein Begriff a​us der Festkörperphysik. In d​er Tight-Binding-Näherung i​st eine Beschreibung d​er elektronischen Wellenfunktionen i​n der gitterperiodischen Bloch-Basis n​icht mehr sinnvoll. Eher konstruiert m​an die Zustandsfunktion a​us atomaren Wellenfunktionen. Diese s​ind nicht orthonormiert. Aus d​en Bloch-Funktionen lässt s​ich jedoch e​ine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:

${\displaystyle \omega _{mn}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})}$

Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO₃

Dabei ist

• ${\displaystyle \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})}$ eine Bloch-Funktion
• ${\displaystyle \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}$ der zugehörige Wannier-Zustand
• ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl
• ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit
• ${\displaystyle {\vec {k}}}$ der Wellenvektor
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ der Ortsvektor
• ${\displaystyle n}$ der Bandindex.

Die umgekehrte Konstruktion d​er Bloch-Zustände a​us den Wannier-Zuständen heißt dann

${\displaystyle \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{m}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}$

Je größer d​ie Gitterkonstante ist, d​esto stärker s​ind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern s​ich immer m​ehr an d​ie atomaren Zustände an. Statt a​ber den Wannier-Zustand einfach e​inem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert m​an ihn d​urch eine Linearkombination v​on atomaren Zuständen (LCAO):

${\displaystyle \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})=\sum _{n\in U}a_{n}\cdot \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}$

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände ${\displaystyle \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})}$ dar.

Literatur

• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.
• Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7.
• Gerd Czycholl: Theoretische Festkörperphysik. 3. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-74789-5.