Vuong-Test

Der Vuong-Test i​st ein statistischer Test z​ur Modellselektion, d​er auf d​em Bayesschen Informationskriterium basiert. Er i​st nach d​em Mathematiker Quang H. Vuong benannt, d​er den Test i​m Jahr 1989 vorschlug.

Theoretische Verfahrensweise

Der Vuong-Test testet die Nullhypothese, dass zwei Modelle – egal ob diese hierarchisch, nicht-hierarchisch oder überlappend sind – gleich nahe an der wahren Verteilung liegen gegen die Gegenhypothese, dass ein Modell näher daran liegt. Er trifft aber keine Aussage, dass das bessere Modell auch wirklich das wahre Modell ist. Unter der Annahme nicht-hierarchischer sowie identisch und unabhängig verteilter erklärender Variablen wird Modell 1 (bzw. Modell 2) auf dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ bevorzugt, wenn die Testgröße

${\displaystyle Z={\frac {LR_{N}(\beta _{ML,1},\beta _{ML,2})}{{\sqrt {N}}\omega _{N}}}}$

mit

${\displaystyle {LR_{N}(\beta _{ML,1},\beta _{ML,2})}=L_{N}^{1}-L_{N}^{2}-{\frac {K_{1}-K_{2}}{2}}\log N}$

das (negative) ${\displaystyle (1-\alpha )}$ -Quantil der Standardnormalverteilung überschreitet (bzw. unterschreitet). Die Zählergröße ist die analog zum Bayesschen Informationskriterium um die Zahl der Koeffizienten korrigierte Differenz der maximalen Log-Likelihoods der beiden Modellschätzungen, die Nennergröße ${\displaystyle {\sqrt {N}}\omega _{N}}$ entspricht der Summe der Quadrate von

${\displaystyle \ell _{i}=\log {\frac {f_{1}(y_{1}|x_{i},\beta _{ML,1})}{f_{2}(y_{1}|x_{i},\beta _{ML,2})}}}$ .

Bei hierarchischen u​nd überlappenden Modellen w​ird die Teststatistik

${\displaystyle 2LR_{N}(\beta _{ML,1},\beta _{ML,2})}$

mit entsprechenden kritischen Größen a​us einer gewichteten Summe v​on Chi-Quadrat-Verteilungen verglichen. Diese k​ann mittels e​iner Gammaverteilung approximiert werden:

${\displaystyle M_{m}(.,\mathbf {\lambda } )\sim \Gamma (b,p)}$

mit

${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{m})}$ , ${\displaystyle m=K_{1}+K_{2}}$ , ${\displaystyle b={\frac {1}{2}}{\frac {\sum \lambda _{i}}{\sum \lambda _{i}^{2}}}}$   und   ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}{\frac {{(\sum \lambda _{i})}^{2}}{\sum \lambda _{i}^{2}}}}$ .

Hierbei ist ${\displaystyle \mathbf {\lambda } }$ der Vektor der Eigenwerte einer Matrix bedingter Erwartungswerte. Dessen Herleitung ist jedoch recht schwierig, so dass Aussagen im überlappenden Fall meist nur aufgrund subjektiv ausreichend großer Werte getroffen werden.

Literatur

• Quang H. Vuong: Likelihood Ratio Tests for Model Selection and non-nested Hypotheses, in: Econometrica, Vol. 57, Iss. 2, 1989, Seite 307–333, JSTOR 1912557.