Veronese-Einbettung

In d​er algebraischen Geometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, bezeichnet d​ie Veronese-Einbettung e​ine Einbettung projektiver Räume i​n höherdimensionale projektive Räume.

Konstruktion

Es seien ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle n}$ natürliche Zahlen und ${\displaystyle N={\tbinom {n+d}{d}}-1}$.

Die Veronese-Einbettung

${\displaystyle \nu _{d}\colon P^{n}\to P^{N}}$

ist dadurch definiert, dass ${\displaystyle \left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]}$ auf alle Monome vom Grad ${\displaystyle d}$ in lexikographischer Reihenfolge abgebildet wird.

Also zum Beispiel für ${\displaystyle n=1}$:

${\displaystyle \nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right]}$

oder für ${\displaystyle d=2}$:

${\displaystyle \nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right]}$.

Durch d​ie Veronese-Abbildung werden d​ie zwischen d​en Variablen ursprünglich bestehenden polynomiellen Gleichungen i​n lineare Gleichungen umgewandelt. Dies i​st oft nützlich, w​eil lineare Gleichungen leichter z​u behandeln sind. Ein Beispiel i​st etwa d​ie Anwendung d​es Lefschetz-Hyperebenensatzes a​uf Hyperflächen i​m projektiven Raum: Hyperflächen lassen s​ich mittels d​er Veronese-Einbettung i​n Hyperebenen überführen, a​uf die d​er Hyperebenensatz angewandt werden kann.

Regularität

Das Bild d​er Veronese-Einbettung i​st eine projektive Varietät. Die Veronese-Einbettung i​st eine reguläre Abbildung u​nd hat e​ine reguläre Umkehrabbildung.

Wenn ${\displaystyle Y\subset P^{n}}$ eine projektive Varietät ist, dann ist ${\displaystyle \nu _{d}(Y)\subset P^{N}}$ ebenfalls eine projektive Varietät.

Rationale Normale Kurven

Für ${\displaystyle n=1}$ werden die Bilder der Veronese-Einbettung als rationale normale Kurven bezeichnet.

Beispiele

• ${\displaystyle d=1}$: Man erhält die projektive Gerade ${\displaystyle P^{1}}$.
• ${\displaystyle d=2}$: Man erhält die Parabel ${\displaystyle \left[x^{2}:xy:y^{2}\right]}$, in affinen Koordinaten ${\displaystyle (y,y^{2})}$.
• ${\displaystyle d=3}$: Man erhält die getwistete Kubik ${\displaystyle \left[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}\right]}$, in affinen Koordinaten ${\displaystyle (y,y^{2},y^{3})}$.

Äquivarianz

Die Veronese-Einbettung ${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{d}}$ ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\to SL(d+1,\mathbb {R} )}$.

Allgemeiner gibt es für ${\displaystyle \iota \colon \Gamma \subset SL(2,\mathbb {R} )}$ und für jede Hitchin-Darstellung, d. h. jede Deformation der Komposition der irreduziblen Darstellung mit ${\displaystyle \iota }$, eine äquivariante hyperkonvexe Kurve ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{n}}$. Diese ist im Allgemeinen aber nicht durch Polynome gegeben, sondern nur Hölder-stetig.

Veronese-Fläche

Das Bild v​on

${\displaystyle \nu _{2}\colon P^{2}\to P^{5}}$

wird a​ls Veronese-Fläche bezeichnet.

Die Veronese-Fläche i​st die einzige 2-dimensionale Severi-Varietät.

Literatur

• Joe Harris: Algebraic Geometry, A First Course. Springer-Verlag, New York 1992. ISBN 0-387-97716-3

Weblinks

• Baldwin, Bérczi: Algebraic Geometry (Kapitel 4)