Vermutung von Andrica
Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.
![](../I/Andrica's_Conjecture.svg.png.webp)
Sei die -te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen gilt:
Unter Verwendung der -ten Primzahllücke lässt sie sich auch so formulieren:
Werte
![](../I/Andrica's_Conjecture3.svg.png.webp)
Es sei .
Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes , sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle mit wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt[1], der größte gefundene Wert war .
Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:
Folge A084976 in OEIS |
Folge A084974 in OEIS |
Folge A084977 in OEIS |
---|---|---|
4 | 7 | 0,670873 |
30 | 113 | 0,639281 |
217 | 1327 | 0,463722 |
263 | 1669 | 0,292684 |
367 | 2477 | 0,260522 |
429 | 2971 | 0,256245 |
462 | 3271 | 0,244265 |
590 | 4297 | 0,228429 |
650 | 4831 | 0,215476 |
738 | 5591 | 0,213675 |
… | ||
10655462 | 191912783 | 0,008950 |
Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005[2]) wurden die Primzahlen bis getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.
Verallgemeinerung
Allgemeiner kann man etwa die Gleichung
betrachten und nach maximalem bzw. minimalem suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr
- Maximum trivialerweise bei , d. h.
- Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei , d. h.
- Dieses wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.[4]
Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung
Außerdem wird vermutet, dass
Ähnliche Vermutung
Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem und mindestens eine Primzahl existiert.
Literatur
- Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. arxiv:0707.2584v1; vgl.: Perez
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Andrica’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
- Andrics’s Conjecture und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
- M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes
Einzelnachweise
- Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.
- Folge A038458 in OEIS
- Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.