Legendresche Vermutung

Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mindestens eine Primzahl zwischen ${\displaystyle n^{2}}$ und ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ gibt.

Die Vermutung i​st eines d​er Landau-Probleme – benannt n​ach Edmund Landau, d​er sie a​uf dem Internationalen Mathematikerkongress i​n Cambridge 1912 z​u den v​ier zur damaligen Zeit n​icht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.[1]

Die Vermutung ist unbewiesen. Es konnte allerdings gezeigt werden, dass zwischen ${\displaystyle n^{2}}$ und ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt.[2]

Eine analoge Vermutung für Kubikzahlen bewies Albert Ingham: Für jedes hinreichend große ${\displaystyle n}$ liegt zwischen ${\displaystyle n^{3}}$ und ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ mindestens eine Primzahl.[3]

Beispiele

Für ${\displaystyle n=1,2,3,4,5}$ bestätigen die Primzahlen ${\displaystyle p=2,5,11,17,29}$ die Vermutung.

Verwandtes

Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes ${\displaystyle n>1}$ mindestens vier Primzahlen zwischen ${\displaystyle p_{n}^{2}}$ und ${\displaystyle p_{n+1}^{2}.}$ Dabei ist ${\displaystyle p_{n}}$ die n-te Primzahl (also ${\displaystyle p_{1}=2,}$ ${\displaystyle p_{2}=3,}$ …). Beispielsweise liegen zwischen ${\displaystyle p_{2}^{2}=9}$ und ${\displaystyle p_{3}^{2}=25}$ die fünf Primzahlen ${\displaystyle 11,13,17,19,23}$. Auch diese Vermutung ist unbewiesen.[4]

Der dänische Mathematiker Ludvig Oppermann (1817–1883) vermutete 1882 (Vermutung von Oppermann), dass es für ${\displaystyle n>1}$ zwischen ${\displaystyle (n-1)\cdot n=n^{2}-n}$ und ${\displaystyle n^{2}}$ mindestens eine Primzahl gibt (und ebenso zwischen ${\displaystyle (n+1)\cdot n=n^{2}+n}$ und ${\displaystyle n^{2}}$). Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion ${\displaystyle \pi (x)}$ lautet ${\displaystyle \pi (x^{2}-x)<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)}$. Aus der Vermutung folgt, dass es mindestens vier Primzahlen zwischen ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ und ${\displaystyle (n-1)^{2}}$ gibt und mindestens zwei zwischen ${\displaystyle n^{2}}$ und ${\displaystyle {(n+1)}^{2}}$ (eine zwischen ${\displaystyle n^{2}}$ und ${\displaystyle n\cdot (n+1)}$ und eine zwischen ${\displaystyle n\cdot (n+1)}$ und ${\displaystyle {(n+1)}^{2}}$), sie ist also eine Verschärfung der Legendre-Vermutung. Ebenso folgt, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen ${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<{\sqrt {p}}_{n}}$ ist. Dies ist ebenfalls unbewiesen.[5]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Landau’s Problems. In: MathWorld (englisch).
2. Vgl. Jing Run Chen: On the distribution of almost primes in an interval. In: Scientia Sinica 18 (1975), S. 611–627.
3. Vgl. Albert E. Ingham: On the difference between consecutive primes. In: The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Series 8 (1937), Nr. 1, S. 255–266.
4. Eric W. Weisstein: Brocard’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
5. Zum Beispiel Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK (dt. Das BUCH der Beweise), Springer 2018, S. 12