Verlängertes Rhombendodekaeder

Das Verlängerte Rhombendodekaeder[1] ist ein konvexes Dodekaeder mit acht Rhomben und vier Hexagonen als Seiten, 18 Ecken und 28 Kanten.

Es ist eines von fünf sogenannten Paralleloedern, das heißt konvexen Polyedern, die durch Translation den Raum parkettieren. Sie wurden von Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow 1885 gefunden. Die anderen vier sind Parallelepiped, hexagonales Prisma, Rhombendodekaeder und Oktaederstumpf.

Raumparkettierung mit verlängerten Rhombendodekaedern

Andere Bezeichnungen sind hexarhombisches Dodekaeder und gestrecktes Dodekaeder und im Englischen elongated dodecahedron (oder rhombo-hexagonal dodecahedron). Der Name verlängertes Rhombendodekaeder stammt daher, dass es aus der Deformation eines um einen Kubus ergänzten (verlängerten) Rhombendodekaeders entsteht. Außerdem kann es durch Kontraktion eines Oktaederstumpfs gewonnen werden.

Es ist die Wigner-Seitz-Zelle einiger raumzentrierter tetragonaler Kristallgitter.[2] Die Symmetriegruppe des Polyeders ist in Schoenflies-Symbolik $D_{4h}$ , das heißt die Diedergruppe eines regelmäßigen Vierecks in der Ebene (vierzählige Achse) mit einer zusätzlichen senkrecht auf der Drehachse stehenden Spiegelebene (Symbol h).

Ein Bild des verlängerten Rhombendodekaeders findet sich eingemeißelt auf dem Grabstein von Arthur Moritz Schoenflies[3], einem der frühen Klassifizierer der Raumgruppen neben Fjodorow.

Weblinks

Elongated Dodecahedron, mathworld

Einzelnachweise

Die Bezeichnung wird zum Beispiel in J. J. Burckhardt, Symmetrie der Kristalle, Birkhäuser, 1988, S. 76, verwendet bei Diskussion der Paralleloeder von Fjodorow, oder in Erhard Scholz, Symmetrie, Gruppe, Dualität, Birkhäuser, 1989, S. 118
Harry Nyman, Sten Andersson, The elongated rhombic dodecahedron in alloy structures, Acta Crystallographica, A, Band 35, 1979, S. 305–308, weisen zum Beispiel $BaAl_{4}$ und $ThMn_{12}$ diese Struktur zu. Sie haben ein tetragonales Kristallgitter mit Raumgruppe I4/mmm. Andere dort diskutierte Strukturen entsprechen eher einer Stumpfversion des verlängerten Rhombendodekaeders wie $BaHg_{11}$ mit kubischer Struktur.
Grab von Arthur Schoenflies auf dem Frankfurter Hauptfriedhof (Gewann XIV, Grab 403 UG, Lage50.138988.68721)

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[1] Die Bezeichnung wird zum Beispiel in J. J. Burckhardt, Symmetrie der Kristalle, Birkhäuser, 1988, S. 76, verwendet bei Diskussion der Paralleloeder von Fjodorow, oder in Erhard Scholz, Symmetrie, Gruppe, Dualität, Birkhäuser, 1989, S. 118

[2] Harry Nyman, Sten Andersson, The elongated rhombic dodecahedron in alloy structures, Acta Crystallographica, A, Band 35, 1979, S. 305–308, weisen zum Beispiel $BaAl_{4}$ und $ThMn_{12}$ diese Struktur zu. Sie haben ein tetragonales Kristallgitter mit Raumgruppe I4/mmm. Andere dort diskutierte Strukturen entsprechen eher einer Stumpfversion des verlängerten Rhombendodekaeders wie $BaHg_{11}$ mit kubischer Struktur.

[3] Grab von Arthur Schoenflies auf dem Frankfurter Hauptfriedhof (Gewann XIV, Grab 403 UG, Lage50.138988.68721)