Unverfälschter Konfidenzbereich

Ein unverfälschter Konfidenzbereich, a​uch unverfälschte Bereichsschätzfunktion o​der unverzerrter Konfidenzbereich i​st ein spezieller Konfidenzbereich i​n der mathematischen Statistik. Die Unverfälschtheit selbst i​st kein Optimalitätsbegriff, ermöglicht a​ber die Konstruktion v​on optimalen Konfidenzbereichen w​ie von Konfidenzbereichen m​it minimalem Volumen. Ist d​er Konfidenzbereich eindimensional, s​o spricht m​an entsprechend v​on einem unverfälschten/unverzerrten Konfidenzintervall bzw. v​on einer unverfälschten Intervallschätzfunktion.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie ein Entscheidungsraum ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$ und eine zu schätzende Funktion

${\displaystyle g\colon \Theta \to \Gamma }$,

die i​m parametrischen Fall a​uch als Parameterfunktion bezeichnet wird.

Ein Konfidenzbereich

${\displaystyle C\colon X\to {\mathcal {P}}(\Gamma )}$

zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ heißt ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta ,\vartheta '\in \Theta }$

${\displaystyle P_{\vartheta }(\{g(\vartheta )\in C\})\geq P_{\vartheta }(\{g(\vartheta ')\in C\})}$

gilt.[1] Für jedes ${\displaystyle \vartheta }$ ist also die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Parameter ${\displaystyle g(\vartheta )}$ zu überdecken, größer als die Wahrscheinlichkeit einen beliebigen anderen Parameter ${\displaystyle g(\vartheta ')}$ zu überdecken.

Beispiel

Gegeben sei das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$ und unbekanntem Erwartungswert, also das statistische Modell ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}})}$, versehen mit der Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{{\mathcal {N}}^{\otimes n}(\mu ,{\sigma _{0}}^{2})\;|\;\mu \in \mathbb {R} \}}$. Überdeckt werden soll der Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$, die Parameterfunktion ist demnach gegeben durch

${\displaystyle g(\mu )=\mu }$.

Ein beidseitiger Konfidenzbereich für den Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ ist beispielsweise gegeben durch

${\displaystyle C(x)=\left[{\overline {x}}-{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2};{\overline {x}}+{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2}\right]}$.

Dabei ist ${\displaystyle u_{\alpha }}$ das ${\displaystyle \alpha }$-Quantil der Standardnormalverteilung und ${\displaystyle {\overline {x}}}$ das Stichprobenmittel.

Der Konfidenzbereich ist unverfälscht, denn es ist für ${\displaystyle \mu \neq \mu '}$ immer

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mu }\left(\{\mu '\in C\}\right)&=P_{\mu }\left({\overline {x}}-{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2}\leq \mu '\leq {\overline {x}}+{\tfrac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2}\right)\\&=P_{\mu }\left({\frac {\mu '-\mu }{\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}}-u_{1-\alpha /2}\leq {\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}}\leq {\frac {\mu '-\mu }{\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}}+u_{1-\alpha /2}\right)\\&=\Phi \left({\frac {\mu '-\mu }{\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}}+u_{1-\alpha /2}\right)-\Phi \left({\frac {\mu '-\mu }{\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}}-u_{1-\alpha /2}\right)\end{aligned}}}$,

wobei ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Der letzte Ausdruck ist aber maximal für ${\displaystyle \mu =\mu '}$, also ist der Konfidenzbereich unverfälscht.

Allgemeine Definition über Formhypothesen

Unter denselben Rahmenbedingungen wie oben heißt ein Konfidenzbereich ${\displaystyle C}$ zu den Formhypothesen ${\displaystyle ({\tilde {H}}_{\vartheta },{\tilde {K}}_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ und zu dem Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$

${\displaystyle P_{\vartheta }(\{\gamma \in C\})\leq 1-\alpha }$ für alle ${\displaystyle \gamma \in {\tilde {K}}_{\vartheta }}$

ist.[2]

Jeder Wert aus der "zu vermeidenden Menge" ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\vartheta }}$ wird also seltener überdeckt als jeder Wert aus der zu "zu überdeckenden Menge" ${\displaystyle {\tilde {H}}_{\vartheta }}$ (siehe hierzu Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen)

Die e​rste Formulierung ergibt s​ich bei Verwendung d​er Formhypothesen

${\displaystyle {\tilde {H}}_{\vartheta }=\{g(\vartheta )\}}$ und ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\vartheta }=\{g(\vartheta ')\mid \vartheta '\neq \vartheta \}}$

und der Annahme, dass ${\displaystyle g}$ injektiv ist.

Verwandte Begriffe

Der korrespondierende Begriff für statistische Tests i​m Sinne d​er Dualität v​on Tests u​nd Konfidenzbereichen s​ind die unverfälschten Tests.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise

1. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 142, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
2. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 241, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.