Unbedingt konvergente Reihe

Die unbedingte konvergente Reihe i​st ein Begriff a​us der Funktionalanalysis, d​er ein bestimmtes Konvergenzverhalten v​on Reihen beschreibt. Man spricht v​on unbedingter Konvergenz e​iner Reihe, w​enn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen d​er Reihe ist. Im Endlichdimensionalen i​st dies äquivalent z​ur absoluten Konvergenz, i​m Unendlichdimensionalen i​st das n​icht mehr d​er Fall.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Vektorraum. Sei ${\displaystyle I}$ eine Indexmenge und ${\displaystyle x_{i}\in X}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$.
Man sagt, eine Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ konvergiert unbedingt gegen ${\displaystyle x\in X}$, falls

• die Indexmenge ${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}}$ abzählbar ist und
• für jede bijektive Abbildung ${\displaystyle a\colon \mathbb {N} \rightarrow I_{0}}$ die Gleichung

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}x_{a(j)}=x}$

gilt.

Dieser Begriff w​ird meistens i​n Banachräumen untersucht, k​ann aber a​uch in normierten, lokalkonvexen o​der wie o​ben allgemein i​n topologischen Vektorräumen betrachtet werden.

Anwendungen

• Mit Hilfe dieser Definition lässt sich z. B. in einem topologischen Vektorraum der übliche Begriff einer „konvergenten Summe von Unterräumen“ als Erweiterung der bereits bekannten Summe von Unterräumen einführen:
  • Summe von Unterräumen:
    ${\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}:=\left\{\sum _{i\in I}u_{i}:u_{i}\in U_{i},u_{i}=0{\text{ für fast alle }}i\in I\right\}}$
  • Erweiterung „Konvergente Summe von Unterräumen“:
    ${\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}:=\left\{\sum _{i\in I}u_{i}:u_{i}\in U_{i},\sum _{i\in I}u_{i}{\text{unbedingt konvergent}}\right\}}$
    Wichtig hierbei ist vor allem, dass der Wert der Reihe nicht von der Umordnung abhängt. Ansonsten wären die Elemente nicht wohldefiniert.
• Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe der unbedingten Konvergenz in Banachräumen definiert.

Zusammenhang zur absoluten Konvergenz

Satz von Riemann

→ Hauptartikel: Riemannscher Umordnungssatz und Steinitzscher Umordnungssatz

Sei ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n}}$ der zugrundeliegende Banachraum und ${\displaystyle I}$ eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.

Satz von Dvoretzky-Rogers

→ Hauptartikel: Satz von Dvoretzky-Rogers

In unendlichdimensionalen Räumen s​ind die unbedingte Konvergenz u​nd die absolute Konvergenz n​icht mehr äquivalent. Dies besagt d​er Satz v​on Dvoretzky-Rogers, d​er nach Aryeh Dvoretzky u​nd Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, d​ass in j​edem unendlichdimensionalen Banachraum e​ine unbedingt konvergente Reihe existiert, d​ie nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, n​ach der j​ede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, g​ilt auch i​m unendlichdimensionalen Fall.

Siehe auch

• Schwach unbedingte Cauchy-Reihe

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 232 ff.

Weblinks

• Chi Woo u. a.: Unconditional convergence. In: PlanetMath. (englisch)
• B. I. Golubov: Unconditional convergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).