Umkehrregel

Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion ${\displaystyle f}$,

• die an der Stelle ${\displaystyle x}$ differenzierbar ist und
• dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ gilt,

${\displaystyle \tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}}$

${\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x))}}}$

${\displaystyle {\color {Periwinkle}f'}(x_{0})={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\color {Salmon}(f^{-1})'}({\color {Blue}f}(x_{0}))=4~}$

auch ihre Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ an der Stelle ${\displaystyle y=f(x)}$ differenzierbar ist mit Ableitung

${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}={\frac {1}{f'(x)}}.}$

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Die Graphen der Funktion ${\displaystyle f}$ und ihrer Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung ${\displaystyle y=x}$. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

${\displaystyle f'(x)=\tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}.}$

Beweisskizzen

Die Umkehrregel k​ann direkt gezeigt werden, i​ndem man d​en Differenzenquotient

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

dahingehend umformt, d​ass er z​u

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x+h))-f^{-1}(f(x))}{f(x+h)-f(x)}}}}$

wird, um anschließend mit ${\displaystyle t=f(x+h)-f(x)}$ zu substituieren. Beim Grenzübergang für ${\displaystyle h\to 0}$ und damit auch ${\displaystyle t\to 0}$ (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt:

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x)+t)-f^{-1}(f(x))}{t}}}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}}$

und somit

${\displaystyle {\frac {1}{f'(x)}}\approx (f^{-1})'(f(x))}$

Alternativ ergibt u​nter Nutzung d​er Kettenregel d​ie Eigenschaft

${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach ${\displaystyle y}$ auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$):

${\displaystyle f'\left(f^{-1}(y)\right)\cdot \left(f^{-1}\right)'(y)=1.}$

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von ${\displaystyle f^{-1}}$ an der Stelle ${\displaystyle y}$ schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion ${\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)}$, indem man die letzte Gleichung erneut nach ${\displaystyle y}$ differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ bzw. ${\displaystyle f(x)=y}$):

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)=-{\frac {f''(x)}{\left(f'(x)\right)^{3}}}.}$

Beispiele

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ${\displaystyle y=f(x)=e^{x}}$ ist der natürliche Logarithmus

${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)\,.}$

Wegen ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$ gilt also

${\displaystyle \ln '(y)={\frac {1}{e^{\ln(y)}}}={\frac {1}{y}}\,.}$

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für ${\displaystyle -1<y<1}$ wegen ${\displaystyle \sin '=\cos }$

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\cos \left(\arcsin(y)\right)}}\,.}$

Stellt m​an den trigonometrischen Pythagoras n​ach dem Kosinus um, erhält m​an

${\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}}$.

Wegen ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$ folgt daraus:

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\left(\arcsin(y)\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,.}$

Analoges g​ilt für d​ie Ableitungen d​es Arkuskosinus u​nd des Arkustangens.

Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen

Alternative Voraussetzungen

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von ${\displaystyle f}$, so genügt bereits die Voraussetzung ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$, da daraus direkt ${\displaystyle f'\neq 0}$ auf einem kleinen Bereich um ${\displaystyle x}$ und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von ${\displaystyle f}$!). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften

In d​er Physik u​nd anderen Naturwissenschaften w​ird manchmal d​ie leibnizsche Schreibweise m​it Differentialen benutzt. Die Umkehrregel n​immt dann d​ie folgende Gestalt an:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}}.}$

Verallgemeinerungen

Die Umkehrregel lässt s​ich auf d​ie Ableitungen v​on Funktionen i​n mehreren Dimensionen verallgemeinern. Die mehrdimensionale Entsprechung d​er Umkehrregel i​st der Satz v​on der Umkehrabbildung.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. durchgesehene Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-40371-X, (Springer-Lehrbuch).