Tschebyschow-Funktion

Die Tschebyschow-Funktion, e​twa im Englischen a​uch Chebyshev-Funktion o​der ähnlich bezeichnet, i​st eine v​on zwei zahlentheoretischen Funktionen, d​ie nach d​em russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind. Sie erhalten d​urch ihren Zusammenhang m​it der Primzahlzählfunktion u​nd dem Primzahlsatz u​nd damit d​er Riemannschen Zeta-Funktion a​n Bedeutung.

Die erste Tschebyschow-Funktion, üblicherweise mit ${\displaystyle \theta \,}$ oder ${\displaystyle \vartheta }$ bezeichnet, ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x \atop p{\text{ prim}}}\operatorname {log} (p)}$

Die zweite Tschebyschow-Funktion ${\displaystyle \psi (x)}$ ist die summierte Funktion der Mangoldt-Funktion:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leq x}\operatorname {log} (p)}$

wobei die Mangoldt-Funktion ${\displaystyle \Lambda }$ definiert ist als

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen lässt, wobei }}p{\text{ prim, }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Grundlegende Eigenschaften

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt s​ich auch darstellen als

${\displaystyle \vartheta (x)=\log(x_{\#}),}$

wobei ${\displaystyle x_{\#}}$ die Primfakultät bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \psi (x)=\operatorname {log} (\operatorname {kgV} (1,2,3,\ldots ,\lfloor x\rfloor ))}$

Nach Erhard Schmidt gibt es für jedes positive reelle ${\displaystyle k}$ Werte für ${\displaystyle x}$, sodass

${\displaystyle \psi (x)-x<-k{\sqrt {x}}}$

und

${\displaystyle \psi (x)-x>k{\sqrt {x}}}$

unendlich oft.

Asymptotik

Es gilt

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{\vartheta (x)}}=1,}$

d. h.

${\displaystyle \vartheta (n)\sim n.}$

Ebenso gilt

${\displaystyle \psi (n)\sim n.\,}$

Pierre Dusart f​and eine Reihe v​on Schranken für d​ie beiden Funktionen:[1]

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2{,}0553}{\ln k}}\right),\qquad k\geq \exp(22)}$

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right),\qquad k\geq 198}$

${\displaystyle \psi (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)+1{,}43{\sqrt {x}},\qquad k\geq 198}$

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|\leq 0{,}006788\,{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq 10{.}544{.}111}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|\leq 0{,}006409\,{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq \exp(22)}$

${\displaystyle \psi (x)-\vartheta (x)<0{,}0000132\,{\frac {x}{\ln x}},\qquad x\geq \exp(30).}$

Verwandtschaft der beiden Funktionen

Es gilt

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

wobei ${\displaystyle k}$ ganz und dann durch ${\displaystyle p^{k}\leq x}$ und ${\displaystyle p^{k+1}\geq x}$ eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\sum _{n=1}^{\lfloor \log _{2}(x)\rfloor }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).}$

Man bemerke, dass ${\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0}$ für ${\displaystyle n\geq \log _{2}(x).}$

Die „exakte Formel“

1895 bewies Hans Karl Friedrich v​on Mangoldt folgende Formel, d​ie im Englischen a​uch als "explicit formula" bezeichnet wird:[2]

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{-2}\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle x>1}$ und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen ${\displaystyle \rho \,}$ der Riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta }$.

Referenzen

1. Pierre Dusart: Sharper bounds for ψ, θ, π, p_k. In: Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. PDF
2. Eric W. Weisstein: Explicit Formula. In: MathWorld (englisch).

• Eric W. Weisstein: Chebyshev Function. In: MathWorld (englisch).
• Mangoldt Summatory Function und Chebyshev Function auf PlanetMath
• Harold Davenport, Hugh L. Montgomery: Multiplicative number theory. Springer Verlag 2000, ISBN 0387950974, ISBN 9780387950976. §. 17. GBS, eingeschränkt