Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit ${\displaystyle \Lambda }$ bezeichnet wird.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion i​st definiert als

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Sie i​st weder e​ine additive Funktion n​och multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

${\displaystyle \exp(\Lambda (n))}$ lässt sich explizit angeben als

${\displaystyle e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}}$

wobei ${\displaystyle {\rm {kgV}}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge ${\displaystyle \exp(\Lambda (n))}$ sind

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, … (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

${\displaystyle \psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),}$

wird a​uch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt b​eim Beweis d​es Primzahlsatzes e​ine Rolle.

Teilersummen

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d=\Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n\,}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\log d=-\Lambda (n)\,}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n}$

Hierbei bedeutet ${\displaystyle d|n}$, dass ${\displaystyle d}$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, d. h. die Summen laufen über alle Teiler von ${\displaystyle n}$. Weiterhin bezeichnet ${\displaystyle \mu (n)}$ die Möbius-Funktion.

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt e​ine wichtige Rolle i​n der Theorie d​er Dirichletreihen.

Es gilt

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}$

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen ${\displaystyle \zeta }$-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}$

Allgemeiner gilt sogar: Ist ${\displaystyle f}$ multiplikativ und ihre Dirichletreihe ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

konvergiert für gewisse ${\displaystyle s}$, dann gilt

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Mangoldt Function. In: MathWorld (englisch).
• Springerlink