Hellingerabstand

Der Hellingerabstand, a​uch Hellingermetrik genannt, i​st eine Metrik für Wahrscheinlichkeitsmaße, d​ie sich d​urch Wahrscheinlichkeitsdichten darstellen. Er s​teht im e​ngen Zusammenhang m​it dem Totalvariationsabstand u​nd erlaubt beispielsweise, aufgrund d​es Abstandes zweier Wahrscheinlichkeitsmaße Rückschlüsse z​u ziehen, o​b diese singulär zueinander sind.

Er w​urde 1909 v​on Ernst Hellinger i​m Rahmen d​er Funktionalanalysis eingeführt.[1]

Definition

Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ auf dem Ereignisraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, die beide absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes ${\displaystyle \mu }$ sind und somit die Dichtefunktionen ${\displaystyle f_{1}}$ und ${\displaystyle f_{2}}$ bezüglich des Maßes ${\displaystyle \mu }$ haben. Der Hellingerabstand ist dann definiert als

${\displaystyle H(P_{1},P_{2})=\left({\frac {1}{2}}\int _{X}|{\sqrt {f_{1}}}-{\sqrt {f_{2}}}|^{2}\mathrm {d} \mu \right)^{\tfrac {1}{2}}}$.

Eigenschaften

• Es ist stets ${\displaystyle H(P_{1},P_{2})\in [0,1]}$.
• Es ist ${\displaystyle H(P_{1},P_{2})=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle P_{1}\perp P_{2}}$, also wenn die Wahrscheinlichkeitsmaße singulär zueinander sind.
• Es ist ${\displaystyle H(P_{1},P_{2})=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$.
• Für Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen gilt

${\displaystyle 1-H^{2}\left(\bigotimes _{i=1}^{n}P_{i},\bigotimes _{i=1}^{n}Q_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}(1-H^{2}(P_{i},Q_{i}))}$.

Daraus folgt dann für Produktmaße

${\displaystyle 1-H^{2}(P^{\otimes n},Q^{\otimes n})=(1-H^{2}(P,Q))^{n}}$.

Also sind Produktmaße asymptotisch immer singulär oder stimmen überein.

• Bezeichnet ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{TV}}$ die Totalvariationsnorm, so gilt

${\displaystyle H^{2}(P_{1},P_{2})\leq {\tfrac {1}{2}}\Vert P_{1}-P_{2}\Vert _{TV}\leq {\sqrt {2}}H(P_{1},P_{2})}$.

• Totalvariationsnorm und Hellingerabstand sind äquivalent zueinander, sie erzeugen also dieselbe Topologie.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

Einzelnachweise

1. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 136, 1909, S. 210–271