Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler i​st ein Begriff a​us der mathematischen Theorie d​er Banachalgebren. Unter Ausnutzung d​er Topologie w​ird der algebraische Begriff d​es Nullteilers verallgemeinert.

Definition

Sei eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge in A gibt mit:

  1. für alle ,
  2. .

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich zu schreiben ist.

Ein beidseitiger o​der zweiseitiger topologischer Nullteiler i​st ein linker u​nd gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.[1][2]

In kommutativen Banachalgebren fallen d​iese drei Begriffe zusammen u​nd man spricht einfach v​on topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen a​uch 0 a​ls topologischen Nullteiler zu; h​ier liegt a​lso die gleiche uneinheitliche Situation w​ie bei d​en algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele

  • Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge wählen.
Skizze zu den verwendeten Funktionen
  • In der Funktionenalgebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. ist kein Nullteiler, denn ist , so muss zunächst für gelten, da auf nicht 0 ist. Die Stetigkeit von liefert dann für alle die Eigenschaft und damit muss (also die Nullfunktion auf ) sein und ist kein Nullteiler.
Um zu sehen, dass ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen
Dann ist , und damit als topologischer Nullteiler nachgewiesen.
  • Ist eine Banachalgebra mit Einselement 1, kein Vielfaches des Einselements und aus dem topologischen Rand des Spektrums von , so ist ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist isomorph zu oder hat topologische Nullteiler.[3]

Permanent singuläre Elemente

Ein Element einer Banachalgebra heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra gibt mit (bzw. ist isometrisch in eingebettet), so dass es in invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:

  • Ein Element einer kommutativen -Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler

Man k​ann jeden topologischen Nullteiler e​iner Banachalgebra a​ls echten (algebraischen) Nullteiler e​iner umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:

  • Zu jeder Banachalgebra gibt es eine Banachalgebra , so dass folgendes gilt:
  1. ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von .
  2. Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in .

Zur Konstruktion von sei die Algebra aller beschränkten Folgen in . Für sei . Dann ist ein Ideal in und der Quotient ist mit der durch induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man isometrisch isomorph in einbetten. Ist nun ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge in mit . Daher ist , aufgefasst als Element in , ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise

  1. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
  3. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
  4. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
  5. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8
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