Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler i​st ein Begriff a​us der mathematischen Theorie d​er Banachalgebren. Unter Ausnutzung d​er Topologie w​ird der algebraische Begriff d​es Nullteilers verallgemeinert.

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x\in A}$ heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ in A gibt mit:

1. ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ für alle ${\displaystyle n}$,
2. ${\displaystyle x\cdot x_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}0}$.

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich ${\displaystyle x_{n}\cdot x{\xrightarrow {n\to \infty }}0}$ zu schreiben ist.

Ein beidseitiger o​der zweiseitiger topologischer Nullteiler i​st ein linker u​nd gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.[1][2]

In kommutativen Banachalgebren fallen d​iese drei Begriffe zusammen u​nd man spricht einfach v​on topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen a​uch 0 a​ls topologischen Nullteiler zu; h​ier liegt a​lso die gleiche uneinheitliche Situation w​ie bei d​en algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele

• Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ wählen.

Skizze zu den verwendeten Funktionen

• In der Funktionenalgebra ${\displaystyle C([0,1])}$ der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist ${\displaystyle x=\mathrm {id} _{[0,1]}}$ ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. ${\displaystyle x}$ ist kein Nullteiler, denn ist ${\displaystyle xy=0}$, so muss ${\displaystyle y(t)=0}$ zunächst für ${\displaystyle 0<t\leq 1}$ gelten, da ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle ]0,1]}$ nicht 0 ist. Die Stetigkeit von ${\displaystyle y}$ liefert dann für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}$ die Eigenschaft ${\displaystyle y(t)=0}$ und damit muss ${\displaystyle y=0}$ (also die Nullfunktion auf ${\displaystyle C([0,1])}$) sein und ${\displaystyle x}$ ist kein Nullteiler.

Um zu sehen, dass ${\displaystyle x}$ ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen

${\displaystyle x_{n}(t)={\begin{cases}1-nt&{\mbox{wenn }}0\leq t\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}$

Dann ist ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$, ${\displaystyle \|x\cdot x_{n}\|={\frac {1}{4n}}\rightarrow 0}$ und damit ${\displaystyle x}$ als topologischer Nullteiler nachgewiesen.

• Ist ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra mit Einselement 1, ${\displaystyle x\in A}$ kein Vielfaches des Einselements und ${\displaystyle \lambda }$ aus dem topologischen Rand des Spektrums von ${\displaystyle x}$, so ist ${\displaystyle x-\lambda \cdot 1}$ ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist ${\displaystyle A}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle A}$ hat topologische Nullteiler.[3]

Permanent singuläre Elemente

Ein Element einer Banachalgebra ${\displaystyle A}$ heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ gibt mit ${\displaystyle A\subset {\tilde {A}}}$ (bzw. ${\displaystyle A}$ ist isometrisch in ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ eingebettet), so dass es in ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:

• Ein Element einer kommutativen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler

Man k​ann jeden topologischen Nullteiler e​iner Banachalgebra a​ls echten (algebraischen) Nullteiler e​iner umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:

• Zu jeder Banachalgebra ${\displaystyle A}$ gibt es eine Banachalgebra ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, so dass folgendes gilt:

1. ${\displaystyle A}$ ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von ${\displaystyle {\tilde {A}}}$.
2. Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von ${\displaystyle A}$ ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in ${\displaystyle {\tilde {A}}}$.

Zur Konstruktion von ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ sei ${\displaystyle {\overline {A}}}$ die Algebra aller beschränkten Folgen in ${\displaystyle A}$. Für ${\displaystyle (x_{n})_{n}\in {\overline {A}}}$ sei ${\displaystyle |(x_{n})_{n}|:=\limsup _{n\to \infty }\|x_{n}\|}$. Dann ist ${\displaystyle N:=\{(x_{n})_{n}\in {\overline {A}};\,|(x_{n})_{n}|=0\}}$ ein Ideal in ${\displaystyle {\overline {A}}}$ und der Quotient ${\displaystyle {\tilde {A}}={\overline {A}}/N}$ ist mit der durch ${\displaystyle |\cdot |}$ induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man ${\displaystyle A}$ isometrisch isomorph in ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ einbetten. Ist nun ${\displaystyle x\in A}$ ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\|x\cdot x_{n}\|=0}$. Daher ist ${\displaystyle x}$, aufgefasst als Element in ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise

1. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
3. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
4. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
5. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8