Streuamplitude

Die Streuamplitude ${\displaystyle f}$ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude ${\displaystyle f(p\to p')}$ ist über den S-Operator ${\displaystyle S}$ definiert:

${\displaystyle \langle p'|S|p\rangle =\delta ^{(3)}({\vec {p}}'-{\vec {p}})+{\tfrac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\delta (E'-E)f(p\to p')}$

Dabei sind

• ${\displaystyle |p\rangle }$ der Anfangszustand und ${\displaystyle |p'\rangle }$ der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• ${\displaystyle {\vec {p}},{\vec {p}}'}$ die Impulse der Zustände,
• ${\displaystyle E,E'}$ die Energie der Zustände,
• ${\displaystyle m}$ die Masse (Physik) der Zustände und
• ${\displaystyle \delta }$ die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels ${\displaystyle \theta }$ zwischen ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und ${\displaystyle {\vec {p}}'}$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\mathrm {out} }({\vec {p}}')&=\langle p'|\psi _{\mathrm {out} }\rangle =\langle p'|S|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \langle p|\psi _{\mathrm {in} }\rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\langle p'|S|p\rangle \,\psi _{\mathrm {in} }(p)\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)f(p\to p')\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\\&=\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}}')+{\frac {\mathrm {i} }{2\pi m}}f(E',\theta )\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,\delta (E'-E)\;\psi _{\mathrm {in} }({\vec {p}})\end{aligned}}}$

Wenn für die eingehende Welle ${\displaystyle \psi _{\mathrm {in} }}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

${\displaystyle \psi _{\mathrm {out} }(p')=e^{\mathrm {i} p'z}+f(E',\theta )\;{\frac {e^{\mathrm {i} p'r}}{r}}}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt i​st gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.}$

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert e​ine Verbindung über d​as optische Theorem:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)}$

mit der Wellenzahl ${\displaystyle k}$ und dem Imaginärteil ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f(0)}$ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In d​er Partialwellenentwicklung w​ird die Streuamplitude d​urch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

${\displaystyle f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta )}$

wobei

• ${\displaystyle f_{\ell }(k)}$ die partielle Streuamplitude
• ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \vartheta )}$ das Legendre-Polynom
• ${\displaystyle \ell }$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element ${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}$ und die Streuphase ${\displaystyle \delta _{\ell }}$ ausgedrückt werden:

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude ${\displaystyle f_{\ell }}$, das S-matrix Element ${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}$ und die Streuphase ${\displaystyle \delta _{\ell }}$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses ${\displaystyle k}$ sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$).

Damit lässt s​ich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

${\displaystyle \sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.}$

Die Streulänge ${\displaystyle a_{\ell }}$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

${\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }}$

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge ${\displaystyle a_{0}}$ der s-Wellen ${\displaystyle (\ell =0)}$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.