Stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine stetigsinguläre (Wahrscheinlichkeits)verteilung[1] i​st eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung i​n der Stochastik, d​ie sich d​urch ihre Irregularität auszeichnet. So besitzen stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilungen w​eder eine Darstellung d​urch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion n​och durch e​ine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, besitzen a​ber trotzdem e​ine stetige Verteilungsfunktion.

Stetigsinguläre Verteilungen treten selten a​uf oder müssen e​xtra konstruiert werden. Beispiel hierfür i​st die Cantor-Verteilung.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$.

Dann heißt ${\displaystyle P}$ eine stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn ${\displaystyle P}$ ein atomloses Maß ist und singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes ${\displaystyle \lambda }$.

Voll ausgeschrieben bedeutet das:

• Für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle P(\{x\})=0}$ (atomlos)
• Es existiert ein ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle P(\mathbb {R} \setminus A)=0}$ und ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ (Singularität)

Beispiel

Plot der Cantorfunktion (10 Iterationen)

Typisches Beispiel einer stetigsingulären Verteilung ist die Cantor-Verteilung, deren Verteilungsfunktion rechts abgebildet ist. Die exakte Konstruktion ist im Hauptartikel zur Cantor-Verteilung erklärt und hängt eng mit der Cantor-Menge ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ zusammen.

Zu beachten ist, dass die Verteilungsfunktion stetig ist, woraus folgt, dass die Cantor-Verteilung keinen diskreten Anteil hat bzw. atomlos ist. Denn jedes Atom, also jedes ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle P(\{x\})>0}$, würde sich als Sprungstelle der Verteilungsfunktion äußern.

Des Weiteren ist die Verteilungsfunktion aufgrund ihrer Konstruktion auf dem Komplement der Cantor-Menge ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ konstant. Daraus folgt, dass ${\displaystyle P(\mathbb {R} \setminus {\mathcal {C}})=0}$. Da die Cantor-Menge selbst aber das Lebesgue-Maß 0 hat, also ${\displaystyle \lambda ({\mathcal {C}})=0}$ gilt, sind die Cantor-Verteilung und das Lebesgue-Maß singulär zueinander.

Somit i​st die Cantor-Verteilung atomlos u​nd singulär z​u Lebesgue-Maß, a​lso stetigsingulär.

Eigenschaften

• Wie oben bereits erwähnt besitzt eine stetigsinguläre Verteilung weder eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion noch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, aber eine stetige Verteilungsfunktion.
• Aufgrund der Nicht-Existenz der Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion existiert der Modus nicht.
• Nach der Lebesgue-Zerlegung lässt sich jede Wahrscheinlichkeitsverteilung zerlegen in eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung (mit Wahrscheinlichkeitsfunktion), eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung (mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) und eine stetigsinguläre Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Weblinks

• V.G. Ushakov: Singular distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise

1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 259.