Statistisches Entscheidungsproblem

Als e​in statistisches Entscheidungsproblem bezeichnet m​an in d​er mathematischen Statistik e​in Tripel a​us einem statistischen Modell, e​inem Entscheidungsraum u​nd einer Verlustfunktion. Statistische Entscheidungsprobleme bilden d​ie Rahmenbedingungen für d​as Auffinden v​on optimalen Entscheidungsfunktionen u​nd sind d​amit ein allgemeiner Überbau für d​as Bestimmen v​on guten Bereichsschätzern, Punktschätzern u​nd den Entwurf v​on statistischen Tests.

Definition

Ein Tripel ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\Omega ,L)}$ heißt ein statistisches Entscheidungsproblem, wenn

• ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein statistisches Modell ist, also ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ für eine Grundmenge ${\displaystyle X}$, eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ auf dieser Grundmenge und eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$.
• ${\displaystyle \Omega }$ die Grundmenge eines Entscheidungsraumes ist, also eines Messraumes, dessen σ-Algebra ${\displaystyle \Sigma }$ alle Punktmengen enthält.
• ${\displaystyle L:\Theta \times \Omega \to [0,+\infty ]}$ eine Verlustfunktion ist.

Beispiel

Betrachtet m​an als statistisches Modell d​as 100-fache Produktmodell, d​as den wiederholten Münzwurf modelliert

${\displaystyle {\mathcal {E}}=(\{0,1\}^{100},{\mathcal {P}}(\{0,1\})^{\otimes 100},\operatorname {Ber} _{\vartheta }^{\otimes 100})}$,

als Entscheidungsraum den Messraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )=([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}$, der den zu schätzenden Parameter der Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} _{\vartheta }}$ enthält und als Verlustfunktion beispielsweise den Gauß-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ,\omega )=(\omega -\vartheta )^{2}}$,

so ist ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\Omega ,L)}$ ein statistisches Entscheidungsproblem.

Speziell a​uf das Schätzen zugeschnitte statistische Entscheidungsprobleme werden a​uch Schätzprobleme genannt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.