Produktmodell (Statistik)

Als Produktmodelle bezeichnet m​an in d​er mathematischen Statistik e​ine spezielle Klasse v​on statistischen Modellen. Viele gängige Modelle w​ie beispielsweise d​as Normalverteilungsmodell s​ind Produktmodelle. Allen Produktmodellen gemeinsam ist, d​ass sie a​ls Produkt kleinerer statistischer Modelle m​it sich selbst entstehen. Damit s​ind insbesondere d​ie Stichprobenvariablen i​n Produktmodellen unabhängig identisch verteilt. Daher treten Produktmodelle b​ei der Modellierung v​on mehreren, identischen durchgeführten Versuchen auf, d​eren Ergebnisse s​ich nicht gegenseitig beeinflussen.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$, also eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ sowie eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ sowie eine Familie ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem Messraum ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$. Hierbei ist ${\displaystyle \Theta }$ eine beliebige Indexmenge.

Dann heißt für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ das statistische Modell

${\displaystyle ({\mathcal {X}}^{\times n},{\mathcal {A}}^{\otimes n},(P_{\vartheta }^{\otimes n})_{\vartheta \in \Theta })}$

das zu ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ gehörige n-fache Produktmodell.[1]

Hierbei bezeichnet

${\displaystyle {\mathcal {X}}^{\times n}=X\times X\times \dots \times X}$ (n mal)

das n-fache kartesische Produkt, ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\otimes n}}$ bezeichnet die n-fache Produkt-σ-Algebra von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mit sich selbst und ${\displaystyle P_{\vartheta }^{\otimes n}}$ ist das n-fache Produktmaß von ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ mit sich selbst.

Reelle Produktmodelle

Gängigster Fall eines Produktmodelles ist, wenn ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, kanonisch versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ und einer beliebigen Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Dann ist das n-fache Produktmodell von der Form

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),(P_{\vartheta }^{\otimes n})_{\vartheta \in \Theta })}$

da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times n}=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )^{\otimes n}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist. Solche Produktmodelle werden auch reelle Produktmodelle genannt.[2]

Beispiele

Normalverteilungsmodell

→ Hauptartikel: Normalverteilungsmodell

Das Normalverteilungsmodell wird in mehreren unterschiedlichen Fassungen formuliert. Dabei unterscheiden sich lediglich die Familien das Wahrscheinlichkeitsverteilungen, diese sind aber stets auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ definiert. Es existieren die folgenden Fälle:

• Als Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden alle Normalverteilungen mit fixem Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{0}}$ und beliebiger Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ betrachtet. Das Produktmodell ist dann von der Form

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma ^{2})^{\otimes n})_{\sigma ^{2}>0})}$

• Als Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden alle Normalverteilungen mit beliebigem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und fixer Varianz ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}>0}$ betrachtet. Das Produktmodell ist dann von der Form

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}(\mu ,\sigma _{0}^{2})^{\otimes n})_{\mu \in \mathbb {R} })}$

• Als Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden alle Normalverteilungen mit beliebigem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und beliebiger Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ betrachtet. Das Produktmodell ist dann von der Form

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})^{\otimes n})_{(\mu ,\sigma ^{2})\in \mathbb {R} \times R_{>0}})}$

Bernoulli-Modell

Das sogenannte Bernoulli-Modell entsteht als Produktmodell aus der Grundmenge ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{0,1\}}$, versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra, also ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\{0,1\})}$ und als Wahrscheinlichkeitsmaße die Bernoulli-Verteilungen ${\displaystyle \operatorname {Ber} _{\vartheta }}$ mit ${\displaystyle \vartheta \in (0,1)}$. Das Produktmodell nimmt somit die Form

${\displaystyle (\{0,1\}^{n},{\mathcal {P}}(\{0,1\}^{n}),(\operatorname {Ber} _{\vartheta })_{\vartheta \in (0,1)})}$

an. Das Bernoulli-Modell tritt bei der Modellierung einer Folge von gleichartigen Versuchen auf, bei denen jeder Versuch entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg sein kann. Typischer Fall hierfür wäre das ${\displaystyle n}$-malige Werfen einer Münze.

Eigenschaften

Unabhängigkeit und identische Verteilung

Eine wichtige Eigenschaft von Produktmodellen ist, dass die Stichprobenvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i=1,\dots ,n}}$ immer unabhängig identisch verteilt mit Verteilung ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ sind. Damit vereinfachen sich in Produktmodellen viele Berechnungen, da beispielsweise ${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(X_{i})=\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{j})}$ für alle ${\displaystyle i,j}$ gilt oder auch ${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(X_{i}X_{j})=\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{i})\cdot \operatorname {E} _{\vartheta }(X_{j})}$ für ${\displaystyle i\neq j}$.

Stabilität

Produktmodelle von parametrischen Modellen sind wieder parametrische Modelle zur selben Parametermenge ${\displaystyle \Theta }$. Ebenso sind Produktmodelle von Standardmodellen wieder Standardmodelle, denn besitzt ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f_{\vartheta }(x)}$, so besitzt ${\displaystyle P_{\vartheta }^{\otimes n}}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{\vartheta }(x_{i})}$. Ebenso sind Produktmodelle von exponentiellen Modellen wieder exponentielle Modelle.

Einzelnachweise

1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 197, doi:10.1515/9783110215274.
2. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 208, doi:10.1515/9783110215274.