Glatte Kurve

Eine glatte Kurve i​st eine stetig differenzierbare parametrisierte Kurve (hier Weg) m​it einer n​icht verschwindenden Ableitung. Anschaulich bedeutet dies, d​ass der Weg b​eim Durchlaufen d​es Parameters a​n keiner Stelle anhält o​der abrupt d​ie Richtung wechselt.

glatte Kurve

stückweise glatte Kurve

Eine Kurve i​m Allgemeinen i​st glatt, w​enn mindestens e​in glatter Weg d​ie Kurve z​um Bild hat.

Im Gegensatz z​u diesen Definitionen m​uss eine glatte Abbildung unendlich o​ft differenzierbar sein.

Formale Definition

Sei ${\displaystyle K}$ eine Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Parameterdarstellung ${\displaystyle f:t\mapsto (f_{1}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$

• ${\displaystyle K}$ heißt glatt, wenn ${\displaystyle f_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ stetig differenzierbar sind und ${\displaystyle (f_{1}^{\prime }(t),\ldots ,f_{n}^{\prime }(t))\neq (0,\ldots ,0)}$ für alle ${\displaystyle t\in [a,b]}$ gilt.
• ${\displaystyle K}$ heißt stückweise glatt, wenn es eine Partition ${\displaystyle P={t_{0},\ldots ,t_{m}}}$ von ${\displaystyle [a,b]}$ gibt, so dass ${\displaystyle K}$ auf jedem Intervall ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ für ${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$ glatt ist.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Eine integrierte Darstellung; Studienbuch für Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 343.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 365.

Weblinks

• stückweise glatt (piecewise smooth) bei PlanetMath