Schubkorrekturfaktor

Der Schubkorrekturfaktor ${\displaystyle \kappa }$ dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche ${\displaystyle A_{S}}$im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$.

Herleitung für dickwandige Querschnitte

Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors ${\displaystyle \kappa }$ wird die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{Q}}$ der Querkraft ${\displaystyle Q}$ (Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{\tau }}$ der realen Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}$ gleichgesetzt.

Die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{Q}}$ der Querkraft ${\displaystyle Q}$ kann mit der mittleren Gleitung ${\displaystyle \gamma _{m}}$ bestimmt werden:

${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}}$

Für die mittlere Gleitung ${\displaystyle \gamma _{m}}$ setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:

${\displaystyle Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma }$     →     ${\displaystyle \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}}$     →     ${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}}$

Die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{\tau }}$ der realen Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}$ ergibt sich, indem die reale Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}$ über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA}$

Für ${\displaystyle \gamma }$ wird das Hookesche Gesetz mit ${\displaystyle \tau =G\cdot \gamma }$ eingesetzt:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA}$

Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung ${\displaystyle \tau _{(z)}}$ die Gleichung ${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}}$ eingesetzt:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}$

mit:

${\displaystyle A}$ Balken-Querschnittsfläche

${\displaystyle S_{y(z)}}$ Statisches Moment

${\displaystyle G}$ Schubmodul

${\displaystyle I_{y}}$ axiales Flächenträgheitsmoment

${\displaystyle b_{(z)}}$ Querschnittsbreite an der Stelle ${\displaystyle z}$

Werden b​eide Formänderungsenergien gleichgesetzt:

${\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}$

kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor ${\displaystyle \kappa }$ für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}$

Herleitung für dünnwandige Querschnitte

Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit ${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}}$ eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta }$

Darin ist ${\displaystyle \zeta }$ die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und ${\displaystyle t_{(\zeta )}}$ die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.

Beispiele

Querschnitt	Schubkorrekturfaktor
Rechteck	${\displaystyle {\frac {5}{6}}=0{,}83{\overline {3}}}$
Vollkreis	${\displaystyle {\frac {3}{4}}=0{,}75}$
dünnwandiger Kreisring	${\displaystyle 0{,}5}$
I-Profil (DIN 1025-1)	${\displaystyle \approx 0{,}35...0{,}45}$
I-Profil, mittelbreit (DIN 1025-2)	${\displaystyle \approx 0{,}1...0{,}25}$
I-Profil, Breitflansch (DIN 1025-3)	${\displaystyle \approx 0{,}18...0{,}45}$
T-Profil (DIN 59051)	${\displaystyle \approx 0{,}45...0{,}5}$

Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden: ${\displaystyle \kappa \approx {\frac {A_{Steg}}{A}}}$

Anmerkung

In mancher Literatur wird für ${\displaystyle \kappa }$ der Kehrwert ${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}}$ verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft ${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}}$ lauten.

Literatur

Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4.