Scherrer-Gleichung

Die Scherrer-Gleichung (nach d​em Schweizer Physiker Paul Scherrer) bietet i​n der Röntgenbeugung d​ie Möglichkeit, d​ie Kristallgröße experimentell z​u bestimmen.

Im Allgemeinen lässt sich das Beugungsbild der Röntgenbeugung durch die Bragg-Gleichung ${\displaystyle n\lambda =2d\,\sin(\theta )}$ beschreiben. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die untersuchten Kristalle eine bestimmte Dicke haben und somit eine ausreichende Anzahl paralleler Netzebenen mit Abstand d_hkl vorhanden sind. Bei der Pulverdiffraktometrie und anderen Pulvermethoden wie dem Debye-Scherrer-Verfahren sollten die Kristalle deshalb eine Korngröße von mindestens 0,1 μm haben. Bei der Kristallstrukturanalyse an Einkristallen sind die Kristalle meistens 50–500 μm groß.

schematische Darstellung der Bragg-Reflexion

Wenn die Kristalle sehr klein sind (Kristallgröße ${\displaystyle L<100\dots 200\,\mathrm {nm} }$), hat das eine Verbreiterung der Röntgenreflexe zur Folge, die durch die Scherrer-Gleichung beschrieben wird:

${\displaystyle L={\frac {K\cdot \lambda }{\Delta (2\theta )\cdot \cos \theta _{0}}}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle \Delta (2\theta )}$ die volle Halbwertsbreite des Reflexes, gemessen im Bogenmaß
• ${\displaystyle K}$ der Scherrer-Formfaktor mit einem Wert von ungefähr 1
• ${\displaystyle \lambda }$ die Wellenlänge der Röntgenstrahlung
• ${\displaystyle L}$ die Ausdehnung des Kristalls senkrecht zu den Netzebenen des Reflexes
• ${\displaystyle \theta _{0}}$ der Braggwinkel (manchmal auch als ${\displaystyle 2\theta /2}$ bezeichnet).

Literatur

• P. Scherrer: Bestimmung der Größe und der inneren Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, S. 98–100 (uni-goettingen.de).
• A. Guinier: X-Ray Diffraction in Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. Dover Publications, New York 1994, ISBN 0-486-68011-8, Kapitel 5.
• U. Holzwarth und N. Gibson: The Scherrer Equation versus the 'Debye-Scherrer Equation'. In: Nature Nanotechnology. Band 6, Nr. 534, 2011, S. 534, doi:10.1038/nnano.2011.145.