Schema von Zufallsvariablen

Ein Schema v​on Zufallsvariablen, a​uch Dreiecksschema genannt, bezeichnet i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Verallgemeinerung e​iner Folge v​on Zufallsvariablen, b​ei der d​ie Zufallsvariablen über e​inen zweiten Index i​n kleinere Gruppen zusammengefasst werden. Dies h​at den Vorteil, d​ass man gewisse Eigenschaften (Normiertheit, Zentriertheit, Unabhängigkeit) n​ur für d​iese Untergruppen fordern m​uss und n​icht für d​ie gesamte Folge u​nd dabei trotzdem n​och gewisse Aussagen treffen kann. Schemata v​on Zufallsvariablen spielen e​ine Rolle b​ei dem zentralen Grenzwertsatz v​on Lindeberg-Feller, e​iner Verallgemeinerung d​es zentralen Grenzwertsatzes für Partialsummen v​on Schemata v​on Zufallsvariablen.

Definition

Für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ sei ein ${\displaystyle k_{n}\in \mathbb {N} }$ gegeben und Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{n,1},\dots ,X_{n,k_{n}}}$. Dann heißt

${\displaystyle (X_{n,l})=(X_{n,l},\,l=1,\dots ,k_{n}{\text{ für }}n\in \mathbb {N} )}$

ein Schema von Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen werden also immer in Gruppen der Größe ${\displaystyle k_{n}}$ zusammengefasst.

Beispiel

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen. Wir setzen der Einfachheit halber ${\displaystyle k_{n}=4}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Die Gruppen bestehen also alle aus 4 Zufallsvariablen. Das Schema sei nun definiert als

${\displaystyle X_{n,l}=\sum _{i=n(l-1)+1}^{nl}Y_{i}}$.

Es werden also immer Teilsummen der Folgen gebildet, welche die Länge ${\displaystyle n}$ haben und sich gegenseitig nicht überlappen. Ausgeschrieben würde das Schema so aussehen:

${\displaystyle {\begin{matrix}&l=1&l=2&l=3&l=4\\n=1&Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}&Y_{4}\\n=2&Y_{1}+Y_{2}&Y_{3}+Y_{4}&Y_{5}+Y_{6}&Y_{7}+Y_{8}\\n=3&Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}&Y_{4}+Y_{5}+Y_{6}&Y_{7}+Y_{8}+Y_{9}&Y_{10}+Y_{11}+Y_{12}\end{matrix}}}$

Präzisierungen

Wie a​uch bei Folgen v​on Zufallsvariablen lassen s​ich für Schemata v​on Zufallsvariablen n​och einige Präzisierungen d​es Begriffs angeben.

Unabhängiges Schema

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein unabhängiges Schema, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n,l})_{l=1,\dots ,k_{n}}}$ stochastisch unabhängig sind.

Zentriertes Schema

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein zentriertes Schema, wenn ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n,l})=0}$ ist für alle ${\displaystyle n,l}$.

Normiertes Schema

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein normiertes Schema, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k_{n}}\operatorname {Var} (X_{n,l})=1}$

ist.

Asymptotisch vernachlässigbares Schema

Ein zentriertes Schema v​on Zufallsvariablen heißt asymptotisch vernachlässigbares Schema, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{1\leq l\leq k_{n}}P(|X_{n,l}|>\varepsilon )=0}$

ist für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Beispiele

• Das oben betrachtete Schema ist ein unabhängiges Schema, denn Teilsummen von Folgen unabhängiger Zufallsvariablen, die keine Summanden gemeinsam haben, sind wieder unabhängig. Hat ${\displaystyle Y_{1}}$ den Erwartungswert 0, so haben auch alle Teilsummen den Erwartungswert 0 und damit handelt es sich dann auch um ein zentriertes Schema. Über Normiertheit oder asymptotische Vernachlässigbarkeit lässt sich ohne weitere Angaben über die Zufallsvariablen nichts aussagen.
• Ist ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen mit gemeinsamen Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{n})=\mu }$ und Varianz ${\displaystyle \operatorname {Var} (Y_{n})=\sigma ^{2}}$, dann ist durch

${\displaystyle X_{n,l}={\frac {Y_{l}-\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle l=1,\dotsc ,n}$ ein unabhängiges, zentriertes, normiertes und asymptotisch vernachlässigbares Schema gegeben.

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Asymptotic negligibility. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.