Schätzfehler

In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion ${\displaystyle {\hat {\vartheta }}}$ vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit ${\displaystyle \vartheta }$. Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).

Definition

Er i​st definiert als:

${\displaystyle e:={\hat {\vartheta }}-\vartheta }$

Ist d​er wahre Parameter unbekannt, s​o ist a​uch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem i​st es möglich, e​ine Aussage über d​ie Präzision d​es Schätzfehlers z​u machen.

Parameter des Schätzfehlers

• Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
• Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.

Beispiele

Wenn ${\displaystyle \mu }$ der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ die Varianz und ${\displaystyle \pi }$ der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ die Normalverteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Parameter der Grundgesamtheit	Stichprobenvariablen	Schätzfunktion ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$	Schätzfehler ${\displaystyle e}$	Verzerrung ${\displaystyle \operatorname {E} (e)}$
${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}}$	${\displaystyle {\bar {X}}-\mu }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle X_{i}\sim (\mu ,\sigma ^{2})}$ und ZGS erfüllt	${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}}$	${\displaystyle {\bar {X}}-\mu }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle X_{i}}$ dichotom	${\displaystyle \Pi ={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}}$	${\displaystyle \Pi -\pi }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ und ${\displaystyle \mu }$ bekannt	${\displaystyle S^{*2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}$	${\displaystyle S^{*2}-\sigma ^{2}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ und ${\displaystyle \mu }$ unbekannt	${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$	${\displaystyle S^{2}-\sigma ^{2}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ und ${\displaystyle \mu }$ unbekannt	${\displaystyle S^{'2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$	${\displaystyle S^{'2}-\sigma ^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

Siehe auch

• Prognosefehler