Satz von Mazur (Einbettungen)

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Mazur d​ie höherdimensionale Verallgemeinerung d​es jordanschen Kurvensatzes, d​ie aber n​ur für differenzierbare Einbettungen gilt. Er w​ird mittels Morse-Theorie bewiesen.

Die Ellipse auf der Kugeloberfläche zerlegt diese in zwei Teile, die ihrerseits beide homöomorph zum Kreis sind.

Aussage

Eine in der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ differenzierbar eingebettete ${\displaystyle (n-1)}$-Sphäre zerlegt die ${\displaystyle S^{n}}$ in zwei Zusammenhangskomponenten, die beide homöomorph zur ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vollkugel sind.

Dimension 2

In 2 Dimensionen erhält m​an den jordanschen Kurvensatz, zumindest für differenzierbare Jordankurven. Dazu b​ilde man d​ie Ebene zusammen m​it einer d​arin enthaltenen diffenrenzierbaren Jordankurve mittels umgekehrter stereographischer Projektion a​uf die Kugeloberfläche ab, e​s kommt d​ann nur e​in Punkt, e​twa ein Nordpol, hinzu. Obiger Satz garantiert d​ann die Zerlegung i​n zwei Zusammenhangskomponenten, e​twa wie i​n nebenstehender Illustration, w​ovon in d​er Ebene diejenige d​ie unbeschränkte ist, d​ie den Nordpol enthält.

Gegenbeispiel

Für topologische (nicht differenzierbare) Einbettungen gilt der Satz in Dimensionen ${\displaystyle n\geq 3}$ nicht mehr, ein Gegenbeispiel ist Alexanders Sphäre. Es gilt aber jedenfalls der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz, nach dem das Komplement einer eingebetteten Sphäre stets aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht.

Literatur

• Barry Mazur: On embeddings of spheres. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 65, Nummer 2, 1959, S. 59–65, (online).
• Maxwell H. A. Newman: On the division of Euclidean n-sphere by topological (n-1)-spheres. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. Band 257, Nummer 1288, Aug. 23, 1960, S. 1–12, (JSTOR 2413794).

Weblinks

• Mazur's Theorem (Wolfram MathWorld)