Satz von Pohlke

Der Satz v​on Pohlke, a​uch Fundamentalsatz d​er Axonometrie o​der Hauptsatz d​er Axonometrie genannt, i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Darstellenden Geometrie. Er g​eht auf d​en Karl Wilhelm Pohlke zurück u​nd behandelt e​ine grundlegende Fragestellung d​er Axonometrie.

Formulierung des Satzes

Satz von Pohlke

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst angeben w​ie folgt:

(P) Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen, kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins.

Etwas allgemeiner ausgedrückt:

(P^') Drei in einer Ebene des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ von einem gegebenen Punkt ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ausgehende Strecken beliebiger Länge und beliebiger Richtung können aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt ${\displaystyle O}$ zusammenstoßenden Würfelkanten, sofern vorausgesetzt ist, dass höchstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind.

Ganz allgemein gilt sogar:

(PS) Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eine Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ und zudem zwei Punkte ${\displaystyle O\in \mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle {\overline {O}}\in E}$ gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ aus, die zwar ${\displaystyle O}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen,

während von letzterem drei weitere beliebige Strecken ${\displaystyle {\overline {S_{1}}},{\overline {S_{2}}},{\overline {S_{3}}}\subset E}$ ausgehen, die zwar ${\displaystyle {\overline {O}}}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch – obwohl in der Ebene ${\displaystyle E}$ liegend – nicht kollinear sind,

so gibt es stets

eine Ähnlichkeitsabbildung ${\displaystyle \eta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ sowie

eine Raumbewegung ${\displaystyle \beta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ und schließlich

eine Parallelprojektion ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow E}$ ,

so dass die verkettete Abbildung ${\displaystyle \psi =\phi \circ \beta \circ \eta }$ den Eckpunkt ${\displaystyle O}$ auf den anderen Eckpunkt ${\displaystyle {\overline {O}}=\psi (O)}$ und dabei ${\displaystyle S_{k}}$ auf ${\displaystyle {\overline {S_{k}}}=\psi (S_{k})\;(k=1,2,3)}$ abbildet.

Anmerkungen zur Historie des Satzes

Pohlke h​at den Fundamentalsatz e​twa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis w​ar außergewöhnlich kompliziert u​nd blieb unveröffentlicht.[1] Hermann Amandus Schwarz, d​er ein Schüler Pohlkes war, publizierte d​en ersten vollständigen Beweis i​m Jahre 1864 u​nd lieferte hierbei a​uch die o​ben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – u​nd ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen d​aher manche Autoren a​uch Satz v​on Pohlke u​nd Schwarz[2] (englisch Pohlke-Schwarz theorem[3]).

Korollar

Aus d​em Fundamentalsatz lässt s​ich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft a​ls diesem gleichwertig betrachtet werden kann:[2][3]

(PS^') Jedes in einer Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ liegende vollständige Viereck ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subset E}$ kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}\subset \mathbb {R} ^{3}}$, welches einem gegebenen Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ähnlich ist.[4]

Literatur

• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969, S. 250–254.
• Heinrich Brauner: Lehrbuch der konstruktiven Geometrie. Springer Verlag, Wien / New York 1969, ISBN 3-211-81833-2, S. 51, 85–86.
• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. 5. Auflage. Band 3. L-R. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 775.
• Wolfgang Haack: Darstellende Geometrie. Band III: Axonometrie und Perspektive (= Sammlung Göschen. Band 2132). 5. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1980, ISBN 3-11-008271-3, S. 45 (MR0568703).
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0, S. 50.
• W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main, ISBN 3-87144-323-9, S. 232.
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 372–373 (MR1089881).
• Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Volume 4: Monge-Ampere Equation - Rings and Algebras. An updated and annotated translation of the Soviet 'Mathematical Encyclopaedia'. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 1995, ISBN 1-55608-010-7, S. 439.
• K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlin 1876 (Google Books.)
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. 8. Auflage. Band 1: Grundlagen Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 177.
• H. Schwarz: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 63, 1864, S. 309–314 (MR1579271).
• Roland Stärk: Darstellende Geometrie. Schöningh-Verlag, Paderborn 1978, ISBN 3-506-37443-5.
• Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 11). 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1971, ISBN 3-7643-0368-9, S. 137.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Heinrich Brauner schreibt allerdings in seinem Lehrbuch der konstruktiven Geometrie in einer Fußnote (Seite 51), dass Pohlke den Fundamentalsatz im Jahre 1860 sehr wohl veröffentlicht habe, wenn auch ohne Beweis.
2. N. M. Beskin: Abbildungsverfahren. In: P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. 1969, S. 252
3. Michiel Hazewinkel: Encyclopaedia of Mathematics. vol. 4. 1995, S. 439
4. Die Encyclopaedia of Mathematics (S. 439) formuliert (PS^') mit "Any complete plane quadrilateral ...". Gemeint sind jedoch jedenfalls vollständige Vierecke in einer Ebene des Raums. Die Encyclopaedia of Mathematics nennt als Quelle auch ausdrücklich die Abhandlung im Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik.