Satz von Minty-Browder

Der Satz v​on Minty-Browder o​der auch Satz v​on Browder u​nd Minty, englisch Minty-Browder theorem, i​st ein mathematischer Lehrsatz d​er Nichtlinearen Funktionalanalysis. Er g​eht auf Arbeiten d​er beiden Mathematiker George Minty u​nd Felix Browder a​us den Jahren 1962 u​nd 1963 zurück.

Der Satz behandelt d​ie Frage d​er Bedingungen, u​nter denen e​in monotoner Operator a​uf einem separablen reflexiven Banachraum über d​em Körper d​er reellen Zahlen surjektiv ist. Er w​ird auch a​ls Hauptsatz d​er Theorie monotoner Operatoren bezeichnet u​nd gilt a​ls nichtlineares Analogon z​um Satz v​on Lax-Milgram. Der Satz findet vielfache Anwendung b​ei der Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben d​er Variationsrechnung. Der Beweis d​es Satzes beruht a​uf dem Fixpunktsatz v​on Brouwer u​nd der Galerkin-Methode.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

Der Darstellung v​on Růžička bzw. Ciarlet folgend lässt s​ich der Satz v​on Minty-Browder angeben w​ie folgt:[1][2]

Gegeben sei ${\displaystyle X}$ ein separabler reflexiver Banachraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Sei dazu ${\displaystyle A\colon X\to X^{'}=L(X,\mathbb {R} )}$ ein Operator von dem Banachraum in seinen Dualraum.

Der Operator ${\displaystyle A}$ besitze folgende Eigenschaften:

(a) ${\displaystyle A}$ ist monoton.

(b) ${\displaystyle A}$ ist koerziv.

(c) ${\displaystyle A}$ ist hemistetig.

Dann gilt:

(1) ${\displaystyle A}$ ist surjektiv.

(2) Für jedes ${\displaystyle x^{'}\in X^{'}}$ ist die Faser ${\displaystyle A^{-1}(x^{'})}$ eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

(3) Ist ${\displaystyle A}$ zudem noch strikt monoton, so ist ${\displaystyle A}$ sogar eine Bijektion.

Erläuterungen zur Terminologie

Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators ${\displaystyle A\colon X\to X^{'}}$ sind folgende Termini wesentlich:

• ${\displaystyle A}$ ist monoton genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v\in X}$ stets gilt:

${\displaystyle \langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle \geq 0}$[4]

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist strikt monoton genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v\in X}$ mit ${\displaystyle u\neq v}$ stets gilt:

${\displaystyle \langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle >0}$

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist koerziv genau dann, wenn gilt:

${\displaystyle \lim _{\|x\|\to {\infty }}{\frac {\langle A(x)\;,\;x\rangle }{\|x\|}}={\infty }}$.[5]

• Der Operator ${\displaystyle A}$ ist hemistetig genau dann, wenn für ${\displaystyle u,v,w\in X}$ stets gilt:

Die auf dem Intervall ${\displaystyle [0\;,\;1]}$ definierte reellwertige Funktion ${\displaystyle t\mapsto \langle A(u+tv)\;,\;w\rangle }$ ist stetig.

Siehe auch

• Satz von Lax-Milgram

Quellen und Hintergrundliteratur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5. MR0687073
• Felix E. Browder: Nonlinear elliptic boundary value problems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 69, 1963, S. 862–874 (). MR0156116
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0. MR3136903
• George J. Minty: On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces. In: National Academy of Sciences. Band 50, 1963, S. 1038–1041, JSTOR:71840. MR0162159
• George J. Minty: Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space. In: Duke Mathematical Journal. Band 29, 1962, S. 341–346 (). MR0169064
• Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (u. a.) 2004, ISBN 978-3-540-20066-6.

Einzelnachweise

1. Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. 2004, S. 63 ff
2. Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications . 2013, S. 742 ff
3. Philippe Blanchard, Erwin Bruning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 154 ff
4. Die hier üblicherweise benutzte Skalarproduktschreibung dient dazu, Mehrfachklammerungen zu vermeiden. Es gilt hierbei für ${\displaystyle x\in X\;,\;f\in X^{'}}$ die Festsetzung, ${\displaystyle \langle f\;,\;x\rangle =f(x)\in \mathbb {R} }$ .
5. Hierbei ist ${\displaystyle x\mapsto \|x\|\in \mathbb {R} \;(x\in X)}$ die Normabbildung des Banachraums ${\displaystyle X}$.