Satz von Milnor-Thom

Im mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Geometrie g​ibt der Satz v​on Milnor-Thom e​ine Abschätzung für d​ie Anzahl d​er Zusammenhangskomponenten d​er Nullstellenmenge e​ines Polynoms, u​nd allgemeiner für d​ie Summe d​er Betti-Zahlen d​er Nullstellenmenge.

Nullstellenmengen von Polynomen

Es sei ${\displaystyle P\in \mathbb {R} \left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ ein Polynom in ${\displaystyle n}$ Variablen vom Grad ${\displaystyle k}$. Der Satz von Milnor-Thom gibt Abschätzungen für die Topologie der Nullstellenmenge

${\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:P(x)=0\right\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$,

genauer gesagt für die Summe der Betti-Zahlen ${\displaystyle b_{i}(A)}$.

Weil die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle A}$ gleich der 0-ten Betti-Zahl ${\displaystyle b_{0}(A)}$ ist und alle Betti-Zahlen nichtnegativ sind, gilt offensichtlich

${\displaystyle \sharp \left\{{\text{Zusammenhangskomponenten von }}A\right\}=b_{0}(A)\leq b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)}$

und m​an erhält a​us dem Satz v​on Milnor-Thom insbesondere e​ine Abschätzung für d​ie Anzahl d​er Zusammenhangskomponenten.

Die Ungleichungen

John Milnor betrachtete in seiner 1964 geschriebenen Arbeit etwas allgemeiner algebraische Varietäten ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ definiert durch ${\displaystyle p}$ Polynome ${\displaystyle f_{i}=0,i=1,\ldots ,p,}$, jedes vom Grad ${\displaystyle \leq k}$ und bewies, dass die Summe ihrer Betti-Zahlen die Ungleichung

${\displaystyle b_{0}(V)+b_{1}(V)+\ldots +b_{n}(V)\leq k(2k-1)^{n-1}}$

erfüllt. Für den Fall, dass ${\displaystyle V}$ durch polynomielle Ungleichungen ${\displaystyle f_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p}$ definiert wird, bewies er

${\displaystyle b_{0}(V)+b_{1}(V)+\ldots +b_{n}(V)\leq {\frac {1}{2}}(2+d)(1+d)^{n-1}}$

mit ${\displaystyle d=deg(f_{1})+\ldots +deg(f_{p})}$. Weiterhin bewies er auch Ungleichungen für komplexe algebraische Varietäten ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ und für projektive Varietäten.

René Thom hatte in seiner 1965 veröffentlichten, aber bereits früher geschriebenen Arbeit, für die Nullstellenmenge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eines Polynoms vom Grad ${\displaystyle k}$ die Abschätzung ${\displaystyle b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)\leq (2k)^{n}}$ bewiesen. Beide Beweise, von Milnor und von Thom, benutzten Morse-Theorie.

Nolan Wallach gab 1996 eine verbesserte Abschätzung für den Fall nichtsingulärer Hyperflächen: wenn ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle 0}$ ein regulärer Wert von ${\displaystyle f}$ ist, dann gilt für die Summe der Betti-Zahlen von ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ die Ungleichung

${\displaystyle b_{0}(A)+b_{1}(A)+\ldots +b_{n}(A)\leq k^{n}}$.

Literatur

• Thom: Sur l'homologie des variétés algébriques réelles. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 255–265 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J. (1965) Online
• Milnor: On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer. Math. Soc. 15, 275–280 (1964), JSTOR 2034050.
• Wallach: On a theorem of Milnor and Thom in: Topics in Geometry (Simon Gindikin, editor), 331–348, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 20, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996. Online MR1390322
• Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy: Real Algebraic Geometry, Springer 1998, Kapitel 11.5 (Der Satz ist auf S. 284)