Satz von Mazur-Ulam

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Mazur-Ulam e​in Lehrsatz a​us der Geometrie normierter Vektorräume.

Er besagt, dass eine surjektive Isometrie ${\displaystyle f\colon V\to W}$ zwischen normierten Vektorräumen eine affine Abbildung sein muss.

Für (nicht notwendig surjektive) Isometrien des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und allgemeiner strikt konvexer Räume ist der Satz offensichtlich wahr: für zwei Vektoren ${\displaystyle v_{0},v_{1}\in V}$ ist ${\displaystyle \Vert f(v_{1})-f(v_{0})\Vert =\Vert v_{1}-v_{0}\Vert }$ und für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ ist ${\displaystyle v_{t}:=tv_{1}+(1-t)v_{2}}$ der einzige Vektor mit ${\displaystyle \Vert v_{t}-v_{0}\Vert =t,\Vert v_{1}-v_{t}\Vert =1-t}$. Weil ${\displaystyle f}$ eine Isometrie ist, muss ${\displaystyle f(v_{t})}$ der eindeutige Vektor mit ${\displaystyle \Vert f(v_{t})-f(v_{0})\Vert =t,\Vert f(v_{1})-f(v_{t})\Vert =1-t}$ sein, also ${\displaystyle f(v_{t})=tf(v_{0})+(1-t)f(v_{1})}$. (Diese Eindeutigkeit gilt, wenn der normierte Vektorraum strikt konvex ist.) Damit ist ${\displaystyle f}$ affin. Dieser elementare Beweis funktioniert nicht mehr für Isometrien beliebiger normierter Vektorräume. In diesem allgemeinen Fall wurde der Satz 1932 von Stanisław Mazur und Stanislaw Ulam bewiesen.

Literatur

• S. Mazur, S. Ulam: Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés. C. R. Acad. Sci. Paris. 194: 946–948 (1932)