Satz von Mackey-Arens

Der Satz v​on Mackey-Arens (nach George Mackey u​nd Richard Friederich Arens) i​st ein mathematischer Satz a​us der Funktionalanalysis, genauer a​us der Theorie d​er lokalkonvexen Räume. Der Satz v​on Mackey-Arens behandelt d​ie Frage, i​n welchen Topologien bestimmte wichtige Abbildungen stetig sind.

Genauer sei ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ mit einer Topologie ${\displaystyle t}$ gegeben. Dann betrachtet man den Dualraum E' der bezüglich ${\displaystyle t}$ stetigen, linearen Funktionale auf ${\displaystyle E}$. Die Frage ist nun, welche weiteren lokalkonvexen Topologien auf ${\displaystyle E}$ zu denselben stetigen, linearen Funktionalen wie ${\displaystyle t}$ führen. Solche Topologien heißen zulässig.

Es stellt s​ich heraus, d​ass es e​ine schwächste u​nd eine stärkste zulässige Topologie gibt.

Die schwächste zulässige Topologie

Die schwächste zulässige Topologie, d. h. die schwächste Topologie, bzgl. der alle Funktionale aus E' stetig sind, ist die schwache Topologie ${\displaystyle \sigma (E,E')}$. Es ist klar, dass es keine zulässige Topologie geben kann, die echt schwächer ist, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ selbst zulässig ist.

Die Mackey-Topologie

Der Dualraum E' trägt die schwach-*-Topologie, das ist die schwächste Topologie auf E', die alle Abbildungen der Form ${\displaystyle {\hat {x}}:E'\rightarrow {\mathbb {K} },\,f\mapsto f(x)}$, wobei ${\displaystyle x\in E}$, stetig macht. Sei ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ die Menge aller absolutkonvexen und schwach-*-kompakten Mengen ${\displaystyle M\subset E'}$. Zu ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}}$ sei ${\displaystyle p_{M}}$ die durch ${\displaystyle \textstyle p_{M}(x):=\sup _{f\in M}|f(x)|}$ definierte Halbnorm auf ${\displaystyle E}$. Dann definiert die Menge ${\displaystyle \{p_{M};M\in {\mathcal {M}}\}}$ eine lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle E}$, die man die Mackey-Topologie auf ${\displaystyle E}$ nennt und mit ${\displaystyle \tau (E,E')}$ bezeichnet. Identifiziert man ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle {\hat {x}}}$, d. h. mit einer Funktion auf E', so ist die Mackey-Topologie nichts anderes als die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Mengen.

Es z​eigt sich nun, d​ass man m​it der Mackey-Topologie d​ie zulässigen Topologien charakterisieren kann.

Satz von Mackey-Arens

• Ist ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum, so ist eine lokalkonvexe Topologie ${\displaystyle s}$ auf ${\displaystyle E}$ genau dann zulässig, wenn ${\displaystyle \sigma (E,E')\subset s\subset \tau (E,E')}$.

Nach diesem Satz ist die Mackey-Topologie die stärkste zulässige Topologie auf ${\displaystyle E}$, die Existenz einer solchen Topologie ist nicht offensichtlich! Die Ausgangstopologie von ${\displaystyle E}$ ist definitionsgemäß selbst zulässig, liegt also ebenfalls zwischen ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ und ${\displaystyle \tau (E,E')}$. Stimmt die Ausgangstopologie von ${\displaystyle E}$ mit der Mackey-Topologie überein, so nennt man ${\displaystyle E}$ einen Mackey-Raum. Man kann zeigen, dass quasitonnelierte Räume stets Mackey-Räume sind. Insbesondere sind daher alle tonnelierten und alle bornologischen Räume Mackey-Räume.

Satz von Mackey

Eine Menge ${\displaystyle B}$ eines lokalkonvexen Raums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle U}$ ein ${\displaystyle r>0}$ gibt mit ${\displaystyle B\subset rU}$. Die Beschränktheit hängt damit von der Topologie ab. Daher ist der folgende Satz von Mackey bemerkenswert:

Für eine Teilmenge ${\displaystyle B}$ eines lokalkonvexen Raumes sind äquivalent:

• ${\displaystyle B}$ ist beschränkt bzgl. der Topologie auf ${\displaystyle E}$.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich jeder zulässigen Topologie beschränkt.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ beschränkt.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich ${\displaystyle \tau (E,E')}$ beschränkt.

Bedeutung

Der Sätze v​on Mackey u​nd Mackey-Arens u​nd die Mackey-Topologie spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume. Sie finden u. a. Anwendung i​n der Charakterisierung d​er Halbreflexivität. Weitere Folgerungen s​ind Sätze d​er Art

• Der schwache Dualraum eines tonnelierten Raums ist folgenvollständig.
• Der schwache Dualraum eines Fréchet-Raums, der kein Banachraum ist, ist nicht metrisierbar.

In den mathematischen Wirtschaftswissenschaften treten sogenannte Präferenz- oder Nutzenfunktionen auf gewissen ${\displaystyle L^{\infty }}$-Räumen auf, auf denen man die schwach-*-Topologie der ${\displaystyle L^{1}}$-${\displaystyle L^{\infty }}$-Dualität betrachtet. Diese Nutzenfunktionen sind im Allgemeinen unstetig bzgl. der schwach-*-Topologie aber stetig bzgl. der feineren Mackey-Topologie ${\displaystyle \tau (L^{\infty },L^{1})}$.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8