Satz von Legendre (Diophantische Gleichungen)

In d​er Zahlentheorie, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik, i​st der Satz v​on Legendre (englisch Legendre’s theorem) über diophantische Gleichungen e​in etwa u​m das Jahr 1785 v​on dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) vorgelegter Lehrsatz, d​er die Lösbarkeit solcher Gleichungen a​us ternären quadratischen Formen o​hne gemischte Glieder behandelt.[1][2]

Formulierung des Legendre'schen Satzes

Der Satz lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[1][2]

Gegeben seien drei quadratfreie und paarweise teilerfremde ganze Zahlen ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$.

Dann gilt:

Die diophantische Gleichung

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$

ist mit ganzen Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ dann und nur dann lösbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(I) ${\displaystyle a,b,c}$ haben nicht alle dasselbe Vorzeichen.

(II_1) ${\displaystyle -bc}$ ist quadratischer Rest ${\displaystyle \mod a}$.

(II_2) ${\displaystyle -ac}$ ist quadratischer Rest ${\displaystyle \mod b}$.

(II_3) ${\displaystyle -ab}$ ist quadratischer Rest ${\displaystyle \mod c}$.

Anmerkungen und Erläuterungen

1. Man bezeichnet die oben auftretende Gleichung auch als Legendre'sche Gleichung (englisch Legendre's equation).[3]
2. Da ${\displaystyle x=y=z=0}$ stets eine Lösung der Legendre'schen Gleichung liefern (nämlich die sogenannte triviale Lösung), bedeutet die obige Fragestellung nichts anderes als die Frage nach den Bedingungen, unter denen eine nichttriviale Lösung vorliegt.[4]
3. Der Satz von Legendre ist – wie auch der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange – einer von mehreren Sätzen der Zahlentheorie, die sich auf den Gitterpunktsatz von Hermann Minkowski (1864–1909) zurückführen lassen.[5]
4. Nach den obigen Bedingungen zu den quadratischen Reste gilt (bei Anwendung des Legendre-Jacobi-Symbols) also ${\displaystyle \left({\frac {-ab}{c}}\right)=\left({\frac {-bc}{a}}\right)=\left({\frac {-ca}{b}}\right)=+1}$.[6]

Siehe auch

• Minkowskischer Gitterpunktsatz
• Vier-Quadrate-Satz

Literatur

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155).
• Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre's equation ax² +by²+cz²=0. In: Journal of Number Theory. Band 16, 1983, S. 100–105 (MR0693397).
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

Einzelnachweise

1. Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 66 ff., S. 217
2. Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 261–263.
3. Richard H. Hudson, Kenneth S. Williams: On Legendre's equation ax² +by²+cz²=0. In: J. Number Theory 16, S. 100–105
4. Grosswald, op. cit., S. 66
5. Scheid, op. cit., S. 258 ff.
6. Grosswald, op. cit., S. 217