Minkowskischer Gitterpunktsatz

Der Minkowskische Gitterpunktsatz (nach Hermann Minkowski) trifft e​ine geometrische Aussage über d​ie Lage v​on Gitterpunkten i​n bestimmten Mengen. Wenn e​ine um d​en Nullpunkt d​es Gitters symmetrische u​nd konvexe Menge e​ine gewisse Größe überschreitet, s​o muss s​ie neben d​em Nullpunkt n​och weitere Punkte d​es Gitters enthalten.

Die konvexe Ellipse ist zu groß, um 0 als einzigen Gitterpunkt zu enthalten.

Aussage des Satzes

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ ein Gitter im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, ${\displaystyle {C}\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ konvex und symmetrisch zum Nullpunkt. Gilt dann ${\displaystyle \mathrm {vol} (C)>2^{d}\cdot \mathrm {vol} (\Gamma )}$, so enthält ${\displaystyle C}$ außer dem Nullpunkt einen weiteren Gitterpunkt (und wegen der Symmetrie sogar zwei). Das Volumen des Gitters ist dabei definiert als das Volumen einer „Grundmasche“.

Beispiel

Ein Beispiel für ein regelmäßiges Gitter im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$. Da eine Gittermasche hier von zwei Einheitsvektoren gebildet wird, beträgt das Volumen dieses Gitters 1. Nach Aussage des Satzes gibt es keine Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, die konvex und symmetrisch zum Nullpunkt ist, einen Flächeninhalt größer als 4 hat und neben dem Nullpunkt keinen weiteren Gitterpunkt enthält.

Für Quadrate um den Nullpunkt lässt sich dies leicht einsehen, denn ein solches Quadrat mit Flächeninhalt größer als 4 muss eine Kantenlänge größer als 2 haben und enthält damit die acht Gitterpunkte ${\displaystyle (0,\pm 1)}$, ${\displaystyle (\pm 1,0)}$, ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$. Allerdings gilt der Satz von Minkowski für jede zentralsymmetrische, konvexe Menge, so unregelmäßig sie auch sein mag.

Literatur

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer-Verlag, 1996, S. 261. ISBN 3-540-58791-8.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2002, S. 28.
• Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag, 2006, S. 65.
• Francois Fricker: Einführung in die Gitterpunktlehre. Birkhäuser 1982, ISBN 376431236X.
• Hans Opolka, Winfried Scharlau Von Fermat bis Minkowski, Springer-Verlag, Undergraduate Texts in Mathematics, 1985, Kapitel 9, S. 158f