Satz von Krasnoselski

Der Satz v​on Krasnoselski (englisch Krasnosselsky’s theorem bzw. Krasnoselsky’s theorem bzw. Krasnosel'skii’s theorem) i​st einer d​er klassischen Lehrsätze d​es mathematischen Teilgebiets d​er Konvexgeometrie u​nd als solcher angesiedelt i​m Übergangsfeld zwischen Geometrie u​nd Analysis. Er g​eht zurück a​uf eine wissenschaftliche Arbeit d​es sowjetischen Mathematikers Mark Alexandrowitsch Krasnoselski a​us dem Jahre 1946. Der Satz behandelt d​ie Frage, u​nter welchen Bedingungen gewisse Teilmengen d​es Euklidischen Raums sternförmige Mengen sind. Er i​st verwandt m​it (und s​ogar eine Folgerung aus) d​em Satz v​on Helly.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst darstellen w​ie folgt:[1][5][6]

Gegeben seien eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ und eine aus unendlich vielen Raumpunkten bestehenden kompakte Teilmenge ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Hier gebe es zu jeder aus ${\displaystyle n+1}$ Raumpunkten bestehenden Teilmenge ${\displaystyle T\subset X}$ einen zugehörigen Raumpunkt ${\displaystyle p_{T}\in X}$ dergestalt, dass jedes ${\displaystyle t\in T}$ von ${\displaystyle p_{T}}$ aus sichtbar (s. u.) ist.

Dann gilt:

${\displaystyle X}$ ist sternförmig.

Zusatz: Die Behauptung des Satzes gilt auch dann noch, wenn man die obige Sichtbarkeitsbedingung abschwächt und sie lediglich für jede aus ${\displaystyle n+1}$ ordentlichen (s. u.) Raumpunkten bestehende Teilmenge ${\displaystyle T\subset X}$ fordert.[7]

Erläuterungen

• Für zwei Punkte ${\displaystyle p,q\in X}$ ist ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle q}$ aus (in ${\displaystyle X}$) sichtbar – und umgekehrt! –, wenn ihre Verbindungsstrecke eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist, wenn also für ihre konvexe Hülle die Beziehung ${\displaystyle \operatorname {conv} \{p,q\}\subseteq X}$ gilt.
• Ein ordentlicher Punkt von ${\displaystyle X}$ ist ein Randpunkt ${\displaystyle p\in \partial {X}}$, der zugleich ein Stützpunkt von ${\displaystyle X}$ ist. Es ist dabei ein Stützpunkt von ${\displaystyle X}$ ein Raumpunkt ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$, zu dem ein lineares Funktional ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ existiert, welches nicht die Nullabbildung ist und dabei die Beziehung ${\displaystyle \sup _{x\in X}{f(x)}=f(p)}$ erfüllt.[8]

Literatur

• M. A. Krasnoselski: Sur un critère pour qu'un domaine soit étoilé. In: Matematitscheskii sbornik (N. S.). Band 19, 1946, S. 309–310 (MR0020248).
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598).
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
• Frederick A. Valentine: Convex Sets (= McGraw-Hill Series in Higher Mathematics). McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London 1964 (MR0170264).

Einzelnachweise

1. Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 53
2. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 203 ff
3. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 76 ff
4. Frederick A. Valentine: Convex Sets. 1964, S. 82 ff
5. Leichtweiß, op. cit., S. 76–77
6. Valentine, op. cit., S. 84
7. Marti, op. cit., S. 212
8. Marti, op. cit., S. 66, S. 211