Satz von Jung

Der geometrische Satz von Jung (benannt nach Heinrich Jung) macht eine mathematische Aussage darüber, wie groß eine Kugel in einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum sein muss, die eine vorgegebene Menge von Punkten einschließt.

Formulierung

Es seien endlich viele Punkte ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben, und es sei ${\displaystyle d:=\max \nolimits _{i,j=1,\dots ,k}\|a_{i}-a_{j}\|_{2}}$ der maximale Euklidische Abstand zweier Punkte.

Der Satz von Jung besagt, dass es eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Kugel mit einem Radius ${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\tfrac {n}{2(n+1)}}}}$ gibt, so dass alle Punkte ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}}$ innerhalb der Kugel (den Rand eingeschlossen) liegen.

Weiterhin i​st der Mittelpunkt d​er Kugel m​it kleinstmöglichem Radius eindeutig bestimmt.

Spezialfall einer Ebene

Am bekanntesten ist der Fall von Punkten in der Ebene, d. h. ${\displaystyle n=2}$. In diesem Fall besagt der Satz von Jung, dass der Radius ${\displaystyle r\leq d/{\sqrt {3}}}$ ist.

Für d​ie drei Eckpunkte e​ines gleichseitigen Dreiecks benötigt m​an genau diesen Radius.

Literatur

• Heinrich Jung: Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt (Memento vom 10. März 2007 im Internet Archive), J. Reine Angew. Math. 137 (1910), 310 -- 313
• Hans Rademacher und Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren (Proben mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik), Springer-Verlag 2000 (Nachdruck der 2. Auflage von 1933), ISBN 3-540-63303-0, 14. Kapitel