Satz von Hurwitz (Quadratsummen)

Der Satz v​on Hurwitz (englisch Hurwitz’s theorem) über Quadratsummen i​st ein v​on dem Mathematiker Adolf Hurwitz (1859–1919) i​m Jahre 1907 vorgelegter Lehrsatz d​es mathematischen Gebiets d​er Zahlentheorie, d​er sich m​it der Frage d​er Darstellung v​on Quadratzahlen a​ls Summe dreier anderer Quadratzahlen befasst.[1][2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[1][2]

Die einzigen Quadratzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$, welche keine Darstellung als Summe dreier anderer Quadratzahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen haben,[A 1] sind die Zahlen der Form

${\displaystyle 4^{m}\ (m\in \mathbb {N} _{0})}$

sowie die Zahlen der Form

${\displaystyle 4^{m}\cdot 25\ (m\in \mathbb {N} _{0})}$ .

Satz von Pall

Der Mathematiker Gordon Pall[A 2] publizierte i​m Jahre 1933 e​in zugehöriges Resultat, a​uf das m​an den Quadratsummensatz v​on Hurwitz zurückführen kann. Dieses besagt:[3][A 3]

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ gilt stets die folgende Äquivalenz:

${\displaystyle N}$ ist darstellbar als Summe von vier Quadratzahlen in der Form ${\displaystyle N=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\ (a,b,c,d\in \mathbb {N} )}$.[A 4] ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle N\notin {\bigl (}\{1,3,5,9,11,17,29,41\}\cup \{4^{m}\cdot F\mid \ m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ F=2,6,14\}{\bigr )}}$ .

In seiner Publikation a​us dem Jahre 1933 behandelte Pall a​uch den Fall v​on vier verschiedenen Quadratzahlen:[4]

Die einzigen natürlichen Zahlen ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ , für die keine Darstellung als Summe von vier verschiedenen ganzen Quadratzahlen ${\displaystyle \geq 0}$ existiert, sind die Zahlen der Form ${\displaystyle 4^{m}\cdot F}$ mit ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ F\in {\bigl (}\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,23,25,27,31,33,37,43,47,55,67,73,97,103\}\cup \{2,6,10,18,22,34,58,82\}{\bigr )}}$ .

Satz von Gauß

Der Beweis d​es ersten Satzes v​on Pall (s. o.) lässt s​ich zurückführen a​uf ein klassisches Resultat d​er Zahlentheorie, welches zuerst v​on Carl Friedrich Gauß gezeigt w​urde und w​ie folgt lautet:[5][A 5]

Eine jede natürliche Zahl ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle N\notin \{4^{m}\cdot (8k+7)\mid \ m\in \mathbb {N} _{0}\ ,\ k\in \mathbb {N} _{0}\}}$ ist stets als Summe dreier (nicht notwendig verschiedener) ganzer Quadratzahlen ${\displaystyle \geq 0}$ darstellbar.

Siehe auch

• Vier-Quadrate-Satz von Lagrange
• Drei-Quadrate-Satz

Literatur

• Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokio 1985, ISBN 0-387-96126-7 (MR0803155).
• Adolf Hurwitz: Sommes de trois carrés. In: L'Intermédiaire des mathématiciens. Band 14, 1907, S. 106–107.
• Gordon Pall: On Sums of Squares. In: American Mathematical Monthly. Band 40, 1933, S. 10–18 (MR1522677).
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).

Einzelnachweise

1. Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 406–407
2. Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 79
3. Sierpiński, op. cit., S. 402
4. Sierpiński, op. cit., S. 407
5. Sierpiński, op. cit., S. 391,402

Anmerkungen

1. Hier ist ${\displaystyle \mathbb {N} \neq \mathbb {N} _{0}}$ zu beachten. Die genannten drei Quadratzahlen sind also durchweg ${\displaystyle >0}$, brauchen jedoch nicht verschieden zu sein.
2. Gordon Pall (1907–1987) war ein kanadischer Mathematiker und promovierte im Jahre 1929 an der Universität von Chicago unter der Anleitung von Leonard Eugene Dickson zum Ph.D.
3. Wie in der Fußnote auf Seite 402 der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) angemerkt ist, wurde dieser Satz schon von René Descartes vermutet.
4. Diese vier Quadratzahlen sind also durchweg ${\displaystyle >0}$, brauchen jedoch nicht verschieden zu sein.
5. Dies ist im Wesentlichen der Drei-Quadrate-Satz, der auch Adrien-Marie Legendre zugewiesen wird.