Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch

Der Satz v​on Hirzebruch-Riemann-Roch i​st ein Lehrsatz d​er algebraischen Geometrie. Er k​ann als Verallgemeinerung d​es Satzes v​on Riemann-Roch verstanden werden u​nd ist n​ach den Mathematikern Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann u​nd Gustav Roch benannt. Hirzebruch bewies diesen Satz für projektive komplexe Mannigfaltigkeiten. In d​er im Folgenden formulierten Version g​ilt er allgemein für komplexe Mannigfaltigkeiten.[1] Der Satz v​on Hirzebruch-Riemann-Roch selbst k​ann als Spezialfall d​er Sätze von Grothendieck-Riemann-Roch u​nd von Atiyah-Singer verstanden werden.

Satz

Sei ${\displaystyle E\to M}$ ein holomorphes Vektorbündel über einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit. Dann gilt

${\displaystyle \chi (M,E):=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(M,E)=\int _{M}Td(M)ch(E),}$

wobei ${\displaystyle Td(M)}$ die Todd-Klasse des Tangentialbündels, ${\displaystyle ch(E)}$ die totale Chern-Klasse von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle H^{i}(M,E)}$ die Garbenkohomologie der Garbe der Schnitte in ${\displaystyle E}$ ist.

Riemannsche Flächen

Für einen Divisor ${\displaystyle D}$ auf einer Riemannsche Fläche ${\displaystyle S}$ betrachtet man das dem Divisor entsprechende Geradenbündel und erhält

${\displaystyle \dim H^{0}({\mathcal {O}}(D))-\dim H^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+{\frac {1}{2}}c_{1}(TS),}$

was z​um klassischen Satz v​on Riemann-Roch

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=deg(D)+1-g}$

äquivalent ist.

Funktorieller Zugang

Der Satz von Grothendieck-Riemann-Roch gibt eine Verallgemeinerung des Satzes für Morphismen ${\displaystyle f\colon M\to N}$ und hat durch diesen funktoriellen Zugang einen einfacheren Beweis. Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch ist der Spezialfall für ${\displaystyle N=\left\{{\text{Punkt}}\right\}}$.

Literatur

• Friedrich Hirzebruch: Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie. Springer-Verlag 1956, ISBN 978-3-662-41083-7.

Einzelnachweise

1. Nachruf Hirzebruch Friedrich - Bayerische Akademie der Wissenschaft