Satz von Hadamard

Zu den zahlreichen Resultaten, die der französische Mathematiker Jacques Hadamard in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Analysis ein als Satz von Hadamard (englisch Hadamard theorem) bezeichneter Lehrsatz, der auf eine Arbeit Hadamards aus dem Jahr 1906 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine stetig differenzierbare Abbildung auf dem euklidischen Raum ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ein Homöomorphismus ist.[1]

Formulierung des Satzes

Der Darstellung i​n der Monographie v​on Ortega / Rheinboldt folgend lässt s​ich der Satz folgendermaßen formulieren:[2]

Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ auf dem euklidischen Raum ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, für die in jedem Raumpunkt ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Jacobi-Matrix ${\displaystyle {J_{F}}(x_{0})}$ nichtsingulär sein soll.

Dabei existiere eine reelle Zahl ${\displaystyle \gamma >0}$ derart, dass bezüglich der Operatornorm für ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ stets die Ungleichung ${\displaystyle \|{{J_{F}}(x_{0})}^{-1}\|\leq \gamma }$ erfüllt ist.

Dann ist ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ein Homöomorphismus.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1920 dehnte Paul Lévy d​en Hadamard'schen Satz a​uf reelle Hilberträume aus, woraufhin Rheinboldt i​m Jahre 1969 zeigte, d​ass er s​ich auch a​uf beliebige reelle Banachräume ausdehnen lässt.[3]

Literatur

• J. Hadamard: Sur les transformations ponctuelles. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 34, 1906, S. 71–84 ().
• P. Levy: Sur les fonctions de lignes implicites. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 48, 1920, S. 13–27.
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Reprint of the 1970 original (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA 2000 (MR1744713).
• Werner C. Rheinboldt: Local mapping relations and global implicit function theorems. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 138, 1969, S. 183–198 (MR0240644).

Einzelnachweise

1. J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. 2000, S. 137–140
2. Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 137
3. Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 139