Satz von Gromoll-Meyer (Geodäten)

Im mathematischen Gebiet d​er Differentialgeometrie g​ibt der Satz v​on Gromoll-Meyer e​ine (oft erfüllte) Bedingung dafür, w​ann eine Riemannsche Mannigfaltigkeit unendlich v​iele geschlossene Geodäten hat. Er w​urde von Detlef Gromoll u​nd Wolfgang Meyer bewiesen.

Für eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ bezeichne ${\displaystyle \Lambda M}$ den freien Schleifenraum mit seiner kanonischen Struktur als Hilbert-Mannigfaltigkeit. Der Satz von Gromoll-Meyer besagt dann: Wenn die Folge der Bettizahlen ${\displaystyle b_{i}(\Lambda M)}$ unbeschränkt ist, dann hat ${\displaystyle M}$ unendlich viele geschlossene Geodäten.

Die Unbeschränktheit der Folge ${\displaystyle b_{i}(\Lambda M)}$ lässt sich mit Methoden der algebraischen Topologie, insbesondere der rationalen Homotopietheorie untersuchen.

Für unterschiedliche Punkte ${\displaystyle p\not =q}$ in einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ war bereits 1951 von Jean-Pierre Serre bewiesen worden, dass es unendlich viele ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ verbindende Geodäten gibt.

Literatur

• D. Gromoll, W. Meyer: Periodic geodesics on compact riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 3 (1969), 493–510.