Satz von Green-Tao

Der Satz v​on Green-Tao i​st ein Resultat a​us der Zahlentheorie, d​as die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen i​n der Menge d​er Primzahlen begründet.

Das Theorem w​urde 2004 v​on Ben Green u​nd Terence Tao bewiesen.[1]

Aussage

1. Zu jeder Länge ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gibt es unendlich viele arithmetische Primzahlenfolgen.

2. Sei ${\displaystyle \pi (N):=\#\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq N\}}$ die Zählfunktion der Primzahlen nicht größer als ${\displaystyle N}$, in anderer Schreibweise ${\displaystyle \pi (N)={\big |}\mathbb {P} \cap [1,N]{\big |}}$. Falls ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge der Primzahlen ist, so dass

${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }{\frac {{\big |}A\cap [1,N]{\big |}}{\pi (N)}}>0}$,

dann existieren in ${\displaystyle A}$ für jedes ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ unendlich viele arithmetische Folgen (positiver Differenz ${\displaystyle d}$) von Primzahlen der Länge ${\displaystyle k}$.

Erläuterungen

Erster Teil

Seien ${\displaystyle k=3}$ und ${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$, dann sind ${\displaystyle a_{n}:=3+4n}$ und ${\displaystyle b_{n}:=3+2n}$ arithmetische Primzahlenfolgen, welche die Primzahlfolgen ${\displaystyle (3,7,11)}$ mit der Differenz ${\displaystyle d=4}$ bzw. ${\displaystyle (3,5,7)}$ mit der Differenz ${\displaystyle d=2}$ produzieren.

Allgemein ist eine solche Folge von der Form ${\displaystyle (a,a+d,a+2d,\dotsc ,a+(k-1)d)}$, wobei ${\displaystyle a}$ ein primer Initialwert ist, ${\displaystyle d>0}$ die Distanz zur nächsten Primzahl und ${\displaystyle k>0}$ die Anzahl der Folgenglieder.

Die bisher (Stand 2021) längste arithmetische Primzahlfolge ${\displaystyle \operatorname {AP27} }$ hat ${\displaystyle 27}$ Glieder und wurde 2019 von Rob Gahan und PrimeGrid gefunden (${\displaystyle 23\#}$ ist ein Primorial):[2]

${\displaystyle a_{n}=224584605939537911+81292139\cdot 23\#\cdot n}$ mit ${\displaystyle n=0,\dotsc ,26}$

Zweiter Teil

Sei ${\displaystyle A=\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen.

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man trivialerweise die unendliche Menge aller Folgen ${\displaystyle (p)}$ der Länge ${\displaystyle 1}$ mit primem ${\displaystyle p}$, weil der Limes superior des konstanten Quotienten offenbar gleich ${\displaystyle 1>0}$ ist.

Für ${\displaystyle k=2}$ erhält man die unendliche Menge aller Folgen ${\displaystyle (p,q)}$ der Länge ${\displaystyle 2}$ mit ungleichen Primzahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$, zum Beispiel sind ${\displaystyle (2,3)}$ und ${\displaystyle (5,13)}$ zwei solche Folgen der Differenz ${\displaystyle 1}$ bzw. ${\displaystyle 8}$. Diese Distanz kann also in zwei Folgen auch unterschiedlich sein (sonst hätte man für ${\displaystyle d=2}$ die Primzahlzwillings-Vermutung von Alphonse de Polignac, die aber unbewiesen ist).

Für ${\displaystyle k=3}$ erhält man alle Folgen mit drei Gliedern, diese Aussage wurde 1939 von Johannes van der Corput gezeigt.

Für ${\displaystyle k\geq 4}$ war es bis zum Beweis des Satzes von Green-Tao unbekannt.

Siehe auch

• Satz von Szemerédi

Einzelnachweise

1. Ben Green, Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics. 167, Nr. 2, 2008, S. 481–547. arxiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481.
2. Jens Kruse Andersen: Primes in Arithmetic Progression Records. Abgerufen am 27. Mai 2021.