Satz von Szemerédi

Der Satz v​on Szemerédi i​st ein Resultat a​us der Zahlentheorie, d​as arithmetische Folgen i​n Mengen natürlicher Zahlen m​it positiver Dichte betrifft.

Aussage

Für jede natürliche Zahl und für jedes , existiert ein , sodass jede Teilmenge von mit mehr als Elementen eine arithmetische Folge der Länge k enthält. Äquivalent lässt sich das Theorem auch folgenderweise formulieren:

Sei die Größe der größten Teilmenge von ohne arithmetische Progression der Länge k. Dann gilt .

Erweiterungen

Es hat sich gezeigt, dass sich die Aussage auf polynomielle Progressionen erweitern lässt. Hat also eine Menge eine positive Dichte und Polynome mit ganzzahligen Werten, dann gibt es unendlich viele , sodass .

Der Satz v​on Szemerédi f​olgt aus d​er Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen.

Literatur

  • Endre Szemerédi: On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression. Acta Arith. 27, 199–245 (1975).
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