Satz von Giroux

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Giroux e​in nach Emmanuel Giroux benannter grundlegender Satz d​er Kontaktgeometrie.

Aussage

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierte 3-Mannigfaltigkeit. Dann hat man eine Bijektion zwischen den Isotopieklassen ko-orientierter Kontaktstrukturen auf ${\displaystyle M}$ und den offenes-Buch-Zerlegungen von ${\displaystyle M}$ modulo positiver Stabilisierung.

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Giroux beweist, dass es zu jeder Kontakt-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M^{2n+1},\alpha )}$ ein offenes Buch gibt mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle \alpha \mid _{B}}$ ist eine Kontaktform auf der Bindung ${\displaystyle B}$,
• ${\displaystyle d\alpha }$ ist eine symplektische Form auf den Seiten des offenen Buches,
• die von ${\displaystyle d\alpha }$ auf den Seiten gegebene Orientierung ist mit der durch ${\displaystyle \alpha }$ gegebenen Orientierung auf der Bindung kompatibel, das Liouville-Vektorfeld zeigt nach außen.

Literatur

• E. Giroux: On the stable equivalence of open books in three-manifolds. Geom. Topol. 10, 97–114 (2006).