Offenes Buch

In d​er Mathematik s​ind Offene Bücher (engl.: open b​ook decompositions) gewisse Zerlegungen v​on Mannigfaltigkeiten, d​ie bei d​er Klassifikation v​on Kontaktstrukturen u​nd bei d​er Konstruktion v​on Blätterungen nützlich sind.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene orientierte ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit. Ein offenes Buch auf ${\displaystyle M}$ ist ein Paar ${\displaystyle (B,\pi )}$ mit:

1. ${\displaystyle B}$ ist eine orientierte ${\displaystyle (n-2)}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die Bindung des offenen Buches.
2. ${\displaystyle \pi \colon M\setminus B\to S^{1}}$ ist ein Faserbündel, so dass ${\displaystyle \pi ^{-1}(\theta )}$ das Innere einer kompakten ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Sigma _{\theta }}$ – der Seite des offenen Buches – und ${\displaystyle \partial \Sigma _{\theta }=B}$ für alle ${\displaystyle \theta \in S^{1}}$ ist.

Existenz

Satz v​on Alexander (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt s​ich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle n\geq 6}$ lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre Signatur verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls ${\displaystyle n}$ nicht durch 4 teilbar ist.)  

Blätterungen

Sei ${\displaystyle (B,\pi )}$ ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Dann hat ${\displaystyle M-B}$ eine Blätterung durch Fasern von ${\displaystyle \pi }$ und auf einer Umgebung der Bindung ${\displaystyle U(B)=B\times D^{2}}$ kann man die Reeb-Blätterung definieren, diese hat insbesondere ${\displaystyle B\times \partial D^{2}}$ als ein kompaktes Blatt. Durch Turbulisierung kann man die Blätterung auf ${\displaystyle M\setminus U(B)}$ tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz ${\displaystyle M}$.

Kontaktstrukturen

Sei ${\displaystyle (B,\pi )}$ ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Eine Kontaktstruktur ${\displaystyle \xi =\ker(\alpha )}$ wird von ${\displaystyle (B,\pi )}$ getragen, wenn

1. ${\displaystyle d\alpha }$ eine positive Volumenform auf jeder Seite ${\displaystyle \Sigma _{\theta }}$ ist und
2. ${\displaystyle \alpha >0}$ auf der Bindung ${\displaystyle B}$.

Satz v​on Thurston-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt e​ine Kontaktstruktur.

Satz v​on Giroux (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur w​ird von e​inem offenen Buch getragen. Zwei v​om selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen s​ind isotop.

Literatur

• Etnyre: Lectures on open book decompositions and contact structures (PDF; 426 kB)
• Martínez: Open Book decompositions and contact geometry (PDF; 223 kB)

Weblinks

• Manifold Atlas: Open Book